Matematyka.pl

Wykaż, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR}\) prawdziwa jest co najmniej jedna z równości:
\(\displaystyle{ |a+b|=|a|+|b|}\), \(\displaystyle{ |b+c|=|b|+|c|}\), \(\displaystyle{ |c+a|=|c|+|a|}\)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Na początku zauważmy, że co najmniej dwie spośród tych liczb będą tego samego znaku lub zerem. Bez straty ogólności bo mamy tu symetrię ze względu na te liczby, możemy założyć, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), będą tego samego znaku lub zerem. Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ a \ge 0}\) i \(\displaystyle{ b \ge 0}\). Wówczas \(\displaystyle{ |a+b|=a+b=|a|+|b|}\). W przypadku, gdy \(\displaystyle{ a \le 0}\) i \(\displaystyle{ b \le 0}\), to mamy \(\displaystyle{ |a+b|=-a-b=|a|+|b|}\). Czyli mamy tezę.

Czy tak jest dobrze?

Tak.

JK