Matematyka.pl

Cześć,
mam zagwozdkę dotyczącą wartości bezwględnej.
Przykład:
\(\displaystyle{ \left| 9-x\right| \le 7 }\)

Opcja pierwsza, rozpisuję odrazu
\(\displaystyle{ 9-x \le 7 \wedge 9-x \ge -7}\)
\(\displaystyle{ x \ge 2 \wedge x \le 16}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\langle 2;16\right\rangle }\)

Opcja druga ( zmienię szyk i wyciągnę minusa przed wartość bezwzględną)
Pytanie 1.czy mogę tak postąpić?

\(\displaystyle{ \left| -x+9\right| \le 7 }\)
\(\displaystyle{ -\left| x-9\right| \le 7 }\)
\(\displaystyle{ \left| x-9\right| \ge -7 }\)
teraz rozpisuję już jak w pierwszej opcji:
\(\displaystyle{ x-9 \ge -7 \vee x-9 \le 7}\)
\(\displaystyle{ x \ge 2 \vee x \le 16}\)

Podobnie wyszło, ale zamiast \(\displaystyle{ \wedge }\) to wyszło \(\displaystyle{ \vee }\)
Pytanie 2. W takim razie w drugiej opcji wychodzi \(\displaystyle{ x \in R}\) ??
Więc coś tu nie gra, albo nie wolno wyciągać minusa przed nawias albo mimo znaczka lub (\(\displaystyle{ \vee }\)) wyznaczamy część wspólną...

Czyżbyś uważał, że `|-4|=-|4|`?

1.
\(\displaystyle{ 9-x\ge0\\x\le9}\)
Nierówność przyjmuje postać
\(\displaystyle{ 9-x\le7\\x\ge2\\
x\in[2;9]}\)

2.\(\displaystyle{
9-x<0\\x>9}\)
Nierówność przyjmuje postać
\(\displaystyle{ -(9-x)\le7\\x\le16\\
x\in(9;16]}\)

Z 1 i 2
\(\displaystyle{ x\in[2;9]\cup(9;16]=[2;16]}\)

Prostszy sposób
\(\displaystyle{ |9-x|\le7\\ -7\le9-x\le7\ \ \ |-9\\ -7-9\le-x\le7-9\\ -16\le-x\le-2\ \ \ |:(-1)\\ 16\ge x\ge2\\ 2\le x\le16\\ x\in[2;16]}\)

Jeżeli chodzi "o wyłączanie minusa przed wartość bezwzględną" to
\(\displaystyle{ |9-x|=|-(x-9)|=|-1|\cdot|x-9|=|x-9|}\)

Dodano po 16 minutach 42 sekundach:
Inny sposób:
\(\displaystyle{ |9-x|\le 7}\)
\(\displaystyle{ 9-x\le7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 9-x\ge-7}\)
\(\displaystyle{ -x\le7 − 9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x\ge-7-9}\)
\(\displaystyle{ -x\le − 2\ \ \ |:( − 1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x\ge -16\ \ \ |:(-1)}\)
\(\displaystyle{ x\ge2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\le16}\)
\(\displaystyle{ x\in[2;16]}\)

Damieux pisze: ↑2 sty 2024, o 19:21 Opcja druga ( zmienię szyk i wyciągnę minusa przed wartość bezwzględną)
Pytanie 1.czy mogę tak postąpić? (*)

\(\displaystyle{ \left| -x+9\right| \le 7 }\)
\(\displaystyle{ -\left| x-9\right| \le 7 }\)
\(\displaystyle{ \left| x-9\right| \ge -7 }\)

(*)Tak nie możesz postąpić - popełniasz błąd (tak wiem - już poprzedniczka to napisała, ale trochę ukryła).
\(\displaystyle{ |a\cdot b|=|a|\cdot |b|}\), czyli tu \(\displaystyle{ |9-x|=|x-9|}\)

a4karo pisze: ↑2 sty 2024, o 19:43 Czyżbyś uważał, że `|-4|=-|4|`?

Faktycznie, nie można tak robić

Dodano po 9 minutach 12 sekundach:
Ok, zrozumiałem już, dziękuję Wam.

Jeszcze chciałem się upewnić, czy jeśli przy zadaniach z wartością bezwzględną, dojdziemy do sytuacji, gdzie
\(\displaystyle{ x>a \vee x<b}\)
przy czym \(\displaystyle{ a<b}\)
to \(\displaystyle{ x \in \RR}\)?