Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc w zadaniu:
Udowodnij, że podana liczba jest całkowita.
\(\displaystyle{ \sqrt{13-4 \sqrt{3} } - \sqrt{21+12 \sqrt{3} } }\)
Próbuję, tak jak w innych tego typu przykładach, że
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{3} =2ab}\) i \(\displaystyle{ 12 \sqrt{3} =2ab}\)
Z czego wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{\left( 2- \sqrt{3} \right) ^{2} } }\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{\left( 6+ \sqrt{3} \right) ^{2} }}\)
Niestety te wyrażenia nie zgadzają się z tymi podanymi w treści zadania, więc może jest inny na to sposób?

Dodano po 2 minutach 17 sekundach:
Również próbowałem podnieść to wyrażenie całe do kwadratu, żeby na końcu odpierwiastkować, ale też nie wychodzi..

Damieux pisze: ↑19 lis 2024, o 15:34 Udowodnij, że podana liczba jest całkowita.
\(\displaystyle{ \sqrt{13-4 \sqrt{3} } - \sqrt{21+12 \sqrt{3} } }\)
Próbuję, tak jak w innych tego typu przykładach, że
\(\displaystyle{ 4 \sqrt{3} =2ab}\) i \(\displaystyle{ 12 \sqrt{3} =2ab}\)
Z czego wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{\left( 2- \sqrt{3} \right) ^{2} } }\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{\left( 6+ \sqrt{3} \right) ^{2} }}\)

Wcale nie "wynika", to tylko jedna z możliwości. Trzeba było dalej próbować... Np. \(\displaystyle{ \sqrt{\left( 1- 2\sqrt{3} \right) ^{2} } }\) i \(\displaystyle{ \sqrt{\left( 3+ 2\sqrt{3} \right) ^{2} }.}\)

JK

wsk.:

rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ x^4-ax^2+16a-256=0}\)

Przecież Jan Kraszewski już podał prawidłowe "zwinięcie" obu wyrażeń podpierwiastkowych do kwadratu sumy/różnicy, wystarczy spierwiastkować i zsumować.

Przedstawiamy w postaci kwadratu dwumianów liczby podpierwiastkowe:

\(\displaystyle{ 13 -4\sqrt{3} = (a-b)^2 = a^2 + b^2 -2a\cdot b }\)

Rozwiązujemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 + b^2 = 13 \\ 2a\cdot b = 4\sqrt{3} \end{cases} }\)

Odp:
\(\displaystyle{ a = 2\sqrt{3}, \ \ b =1.}\)

\(\displaystyle{ 21 + 12\sqrt{3} = (c+d)^2 = c^2 + 2c \cdot d + d^2 }\)

Rozwiązujemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} c^2 + d^2 = 21 \\ 2c \cdot d = 12\sqrt{3} \end{cases} }\)

Odp:
\(\displaystyle{ c = 3, \ \ d = 2\sqrt{3}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \sqrt{13 -4\sqrt{3}} - \sqrt{21 + 12\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3} -1)^2} - \sqrt{(3+2\sqrt{3})^2} = |2\sqrt{3} -1|- |3+2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3} -1 -3 -2\sqrt{3} = -4\in \ZZ.}\)

Peter_85 pisze: ↑21 lis 2024, o 19:22 Przecież Jan Kraszewski już podał prawidłowe "zwinięcie" obu wyrażeń podpierwiastkowych do kwadratu sumy/różnicy, wystarczy spierwiastkować i zsumować.

I co z tego wynika? Jedyne słuszne rozwiązanie?

Mnożenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą zawsze daje liczbę całkowitą.
\(\displaystyle{ \sqrt{13-4 \sqrt{3} } - \sqrt{21+12 \sqrt{3}}}\)
Jeśli wyrażenie algebraiczne pomnożymy przez trzy, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left( -3 + 6 \sqrt{3} \right) - \left(9 + 6 \sqrt{3} \right) \\
= -3 + 6 \sqrt{3} - 9 - 6 \sqrt{3} \\
= -12}\)

Przykro mi, ale nie jestem w stanie zrozumieć co masz na myśli pisząc o "jedynym słusznym rozwiązaniu". Uważasz, że wynik zmieni się jeśli zgadniesz współczynniki zamiast wyliczyć je z układu równań, czy może sugerujesz, że to wyrażenie ma więcej niż jedną wartość? Co ma udowodnić to mnożenie przez 3?

Przykro mi, ale nie jestem w stanie zrozumieć co masz na myśli pisząc o "jedynym słusznym rozwiązaniu".

To ma na myśli, że rozwiązań "słusznych" może być wiele a pisze to z sarkazmem zaprawionym lekką nutą ironii w czym niewątpliwie ma słuszną rację...

Ależ skąd. Prawie dwie dekady temu, wówczas dziesięcioletnia uczennica anglikańskiej szkoły Illawarra Grammar osiągnęła coś niezwykłego w matematyce. Rozwiązując zadanie na różne sposoby można wiele zyskać.

osiągnęła coś niezwykłego w matematyce.

czyli co ???

Rozwiązała nierozwiązany problem przedstawiony w pracy naukowej matematyków.