Matematyka.pl

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \left| x^{2}+2x \right|-\left| 2-x\right|=\left| x^{2}-x\right|}\)
Rozkładając na przypadki potrafię to rozwiązać, ale podobno można tu znaleźć jakiś szybszy sposób.

Jedyne, co mi przychodzi do głowy

\(\displaystyle{ |x^2+2x|=|x^2-x|+|x-2|}\)

\(\displaystyle{ (x^2+2x)^2=\left( |x^2-x|+|x-2|\right)^2}\)

\(\displaystyle{ x^4+4x^3+4x^2=(x^2-x)^2+2|(x^2-x)(x-2)|+(x-2)^2}\)

\(\displaystyle{ |x^3-3x^2+2x|=3x^3+x^2+2x-2}\)

Prawa strona może być oczywiście (jako wielomian nieparzystego stopnia) zarówno dodatnia, jak i ujemna. Ponieważ jednak mamy szczęście obcować z równaniem, które może mieć tylko skończenie wiele rozwiązań, nie będę się tym przejmował. Po prostu na koniec sprawdzę, które rozwiązania spełniają równanie wyjściowe, które nie.

\(\displaystyle{ x^3-3x^2+2x=3x^3+x^2+2x-2\quad\vee\quad x^3-3x^2+2x=-3x^3-x^2-2x+2}\)

\(\displaystyle{ x^3+2x^2-1=0\quad\vee\quad 2x^3-x^2+2x-1=0}\)

\(\displaystyle{ x^3+x^2+x-1=0\quad\vee\quad x^2(2x-1)+2x-1=0}\)

\(\displaystyle{ x^2(x+1)+x-1=0\quad\vee\quad (x^2+1)(2x-1)=0}\)

\(\displaystyle{ (x+1)(x^2+x-1)=0\quad\vee\quad (x^2+1)(2x-1)=0}\)

\(\displaystyle{ x\in\left\{ -1,-\frac{1+\sqrt5}2,\frac{\sqrt5-1}2,\frac12\right\}}\)

Z czego jedynym rozwiązaniem spełniającym równanie wyjściowe jest \(\displaystyle{ \frac{\sqrt5-1}2}\)

Szybciej to raczej nie jest, ale przynajmniej inaczej No i nie musieliśmy robić po drodze żadnych założeń.

ja to zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ max\left\{ |x-2+x^2-x|, |x-2-x^2+x|\right\} = |x^2+2x|}\)

po redukcji mamy:

\(\displaystyle{ max\left\{ |x^2-2|, |-2x^2+2x-2|\right\} = |x^2+2x|}\)

Czyli, że :

\(\displaystyle{ |x^2-2|=|x^2+2x| \vee |-2x^2+2x-2|=|x^2+2x|}\)

Odpowiadamy na pytanie największy \(\displaystyle{ x}\) spełniający te równania to: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt5-1}2}\). I koniec. Wszystkiego nie przepisywałem. Jest trochę mniej pisania .

denatlu pisze:ja to zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ max\left\{ |x-2+x^2-x|, |x-2-x^2+x|\right\} = |x^2+2x|}\)

A skąd to się wzięło?

po redukcji mamy:

\(\displaystyle{ max\left\{ |x^2-2|, |-2x^2+2x-2|\right\} = |x^2+2x|}\)

Raczej:

\(\displaystyle{ \max\left\{ |x^2-2|, |-x^2+2x-2|\right\} = |x^2+2x|}\)

Majeskas pisze: A skąd to się wzięło?

Stąd: \(\displaystyle{ |a|+|b| = \max\lbrace{ |a+b| , |a-b| \rbrace}}\)



Masz racje tak właśnie jest po redukcji, z błędem przepisałem.