Proste różnice

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Proste różnice

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że \(\displaystyle{ | \sqrt{a^2+b^2} - \sqrt{a^2+c^2}| \leq |b-c| }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Proste różnice

Post autor: Janusz Tracz »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Proste różnice

Post autor: Premislav »

Można też (co jest nieco mniej elementarne) ustalić dowolne \(\displaystyle{ a\in \RR}\) i zastosować twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej do \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x^2+a^2}}\) (wartość bezwzględna jej pochodnej dość trywialnie szacuje się z góry przez \(\displaystyle{ 1}\)).

A z Minkowskiego: WLOG \(\displaystyle{ |b|\ge|c|}\), a wtedy równoważnie jest
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+(c+(b-c))^2}\le \sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{0^2+(b-c)^2}}\), co bezpośrednio wynika z Minkowskiego
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Proste różnice

Post autor: a4karo »

Niech `A=(|a|,0), B=(0,|b|), C=(0,|c|)` i niech WLOG `|b|\le |c|`. Oznaczmy przez `E` punkt przecięcia `O(A,|AB|)` z prostą `AC`, a przez `D` rzut prostokątny `B` na prostą `AC`.
Wtedy `|CE|=|AC|-|AB|\le |CD|<|BC|=|c|-|b|\leq |c-b|` i już
ODPOWIEDZ