Matematyka.pl

Mam taki przykład:

\(\displaystyle{ \left| \frac{1 + x}{2} \right| \le (1 + x) ^ {2}}\)

Wartość pod modułem jest większa od zera dla \(\displaystyle{ x \ge -1}\)

\(\displaystyle{ x \ge -1 \Rightarrow \frac{1 + x}{2} \le (1 + x) ^ {2} | \div (1 + x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le (1 + x) \Rightarrow x \in \left\langle- \frac{1}{2} ; \infty \right)}\)

\(\displaystyle{ x < -1 \Rightarrow - \frac{1 + x}{2} \le (1 + x) ^{2} | \div (1 + x)}\) tutaj zmiana znaku przy dzieleniu
\(\displaystyle{ x \in \left(- \infty ; - \frac{3}{2} \right\rangle}\)

A czemu nie wychodzi także \(\displaystyle{ -1}\)? W odpowiedzi jest jeszcze \(\displaystyle{ -1}\). Ale czemu tu tego nie ma?

Rozważając \(\displaystyle{ x \ge -1}\) nie możesz dzielić przez \(\displaystyle{ 1+x}\), bo dla \(\displaystyle{ x=-1}\) to zero.

W odpowiedzi do zadania jest taki wynik:

\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ; -\frac{3}{2} \right) \cup \left( - \frac{1}{2} ; \infty \right) \cup \left\{ -1\right\}}\)

Jak otrzymać taki wynik?

Powinno być \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ; -\frac{3}{2}\right] \cup \left[ - \frac{1}{2} ; \infty\right) \cup \left\{ -1\right\}}\).

Trzeba rozważyć trzy przypadki \(\displaystyle{ x<-1}\), \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ x>-1}\). Pierwszy przypadek rozpatrujemy tak samo jak zrobiłeś to w swoim poście. W drugim przypadku sprawdzamy, że nierówność rzeczywiście zachodzi. Trzeci przypadek należy rozpatrzeć prawie tak samo jak Ty to zrobiłeś:

\(\displaystyle{ \frac{1 + x}{2} \le (1 + x) ^ {2} | \div (1 + x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le (1 + x) \Rightarrow x \in <- \frac{1}{2} ; \infty )}\)

przy czym prawie oznacza to, że rozwiązujemy to dla \(\displaystyle{ x>-1}\) (bo wtedy możemy zawsze dzielić przez \(\displaystyle{ 1+x}\)).

Wystarczy że nie podzielisz przez \(\displaystyle{ \left( x+1 \right)}\) bo w ten sposób gubi się pierwiastki i wszystko będzie tak jak należy.

Rozwiązujesz dwie nierówności gdy \(\displaystyle{ x < -1}\) i \(\displaystyle{ x \ge -1}\) i wyznaczasz część wspólną
Ostatecznie wyjdzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \in \left( - \infty ; - \frac{3}{2}\right\rangle \cup \left\langle -1;+ \infty \right) \\ x \in \left( - \infty ; - 1 \right\rangle \cup \left\langle- \frac{1}{2};+ \infty \right) \end{cases} \Rightarrow x \in \left( - \infty ;- \frac{3}{2}\right\rangle \cup \left\{ -1\right\} \cup \left\langle- \frac{1}{2} ;+ \infty \right)}\)

Ładnie wychodzi z rozwiązania graficznego:
Narysuj wykresy \(\displaystyle{ y=\left| \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2} \right|}\) oraz \(\displaystyle{ y=(x+1)^2}\) (podstawowa parabola przesunoęta w lewo o jeden). Jeżeli przyjmiesz jeszcze dwie kratki jako jednostkę, to otrzymasz dokładne wartości współrzędnych trzech punktów wspólnych obu tych wykresów (i one właśnie pojawiają się w odpowiedzi).

Aha, teraz rozumiem. Czyli jak nie mogę dzielić przez 0, a równanie może mieć rozwiązanie dla takiego iksa to rozpatruję jako osobny przypadek. Ok, dzięki.