Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
-
inusia146
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
Czy nierówność \(\displaystyle{ |x+8|<|7-x|}\) mogę rozwiązać, zastępując ją koniunkcją nierówności: \(\displaystyle{ x+8<7-x \ \wedge \ x+8>x-7}\)? Wynik wychodzi dobry, ale zastanawiam się, czy sposób jest poprawny?
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
Raczej nie, bo na jakiej podstawie taka zamiana? Na ogół \(\displaystyle{ |a| < |b|}\) nie jest równoważne \(\displaystyle{ a < b \wedge a > -b}\), bo \(\displaystyle{ b}\) może być ujemne.
-
Gouranga
- Użytkownik
- Posty: 1594
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
Nie, musisz znaleźć punkty zmiany znaku dla obu tych wartości bezwzględnych (dla lewej jest to oczywiście -8, dla prawej 7) i rozważasz 3 przedziały:
\(\displaystyle{
x \le -8, -8 < x \le 7, 7 < x
}\)
z każdego z tych przedziałów bierzesz przykładową liczbę, wstawiasz za x, jeśli wnętrze wartości bezwzględnej wychodzi dodatnie to ją pomijasz, jeśli ujemne to pomijasz ze zmianą znaków wszystkiego w niej i rozwiązujesz 3 nierówności, z każdej z nich musisz wziąć część wspólną jej rozwiązania i przedziału, z którego wyniknęła
np. dla przedziału \(\displaystyle{ x \le -8}\) masz \(\displaystyle{ -x- 8 < 7-x \rightarrow -8<7}\) więc cały przedział \(\displaystyle{ x \le-8}\) jest rozwiązaniem
\(\displaystyle{
x \le -8, -8 < x \le 7, 7 < x
}\)
z każdego z tych przedziałów bierzesz przykładową liczbę, wstawiasz za x, jeśli wnętrze wartości bezwzględnej wychodzi dodatnie to ją pomijasz, jeśli ujemne to pomijasz ze zmianą znaków wszystkiego w niej i rozwiązujesz 3 nierówności, z każdej z nich musisz wziąć część wspólną jej rozwiązania i przedziału, z którego wyniknęła
np. dla przedziału \(\displaystyle{ x \le -8}\) masz \(\displaystyle{ -x- 8 < 7-x \rightarrow -8<7}\) więc cały przedział \(\displaystyle{ x \le-8}\) jest rozwiązaniem
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
jest złym rozwiązaniem
Dodano po 3 minutach 25 sekundach:
Być może powodem tego stanu rzeczy jest moje nikłe wykształcenie ja znam tylko 1 sposób...
Dodano po 3 minutach 25 sekundach:
Może jestem dziwny ale ten sposób rozwiązania do mnie nie przemawiaGouranga pisze: ↑20 mar 2024, o 19:36 Nie, musisz znaleźć punkty zmiany znaku dla obu tych wartości bezwzględnych (dla lewej jest to oczywiście -8, dla prawej 7) i rozważasz 3 przedziały:
\(\displaystyle{
x \le -8, -8 < x \le 7, 7 < x
}\)
z każdego z tych przedziałów bierzesz przykładową liczbę, wstawiasz za x, jeśli wnętrze wartości bezwzględnej wychodzi dodatnie to ją pomijasz, jeśli ujemne to pomijasz ze zmianą znaków wszystkiego w niej i rozwiązujesz 3 nierówności, z każdej z nich musisz wziąć część wspólną jej rozwiązania i przedziału, z którego wyniknęła
np. dla przedziału \(\displaystyle{ x \le -8}\) masz \(\displaystyle{ -x- 8 < 7-x \rightarrow -8<7}\) więc cały przedział \(\displaystyle{ x \le-8}\) jest rozwiązaniem
Być może powodem tego stanu rzeczy jest moje nikłe wykształcenie ja znam tylko 1 sposób...
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
No cóż, to jest ten sam sposób, który znasz, tylko inaczej opowiedziany...
A nierówność \(\displaystyle{ |x+8|<|7-x|}\), czyli \(\displaystyle{ |x+8|<|x-7|}\) najprościej (bez rachunków) rozwiązać korzystając z interpretacji geometrycznej. Zastanawiamy się, które liczby rzeczywiste są bliżej \(\displaystyle{ -8}\) niż \(\displaystyle{ 7}\) - oczywiście te z przedziału \(\displaystyle{ \left( -\infty,-\frac12\right) . }\)
JK
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1667
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi
Przy porównywaniu tych dwóch ewidentnie nieujemnych wyrażeń bodaj najbardziej mechanicznym, a zarazem najbardziej "przypadkoodpornym" podejściem jest porównanie kwadratów tych wyrażeń.