Matematyka.pl

Dzień dobry, czy jeśli chcę udowodnić, że jeśli
\(\displaystyle{ \left( x-y\right) \left( 2 ^{2x+2y}-2 ^{x+y} \right) + \left( x+y\right)\left( 2 ^{3x}-2 ^{3y} \right) = 0}\)
to \(\displaystyle{ \left| x\right| = \left| y\right|}\)

To czy mogę założyć, że
\(\displaystyle{ \left( x-y\right) \left( 2 ^{2x+2y}-2 ^{x+y} \right) = 0}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left( x+y\right)\left( 2 ^{3x}-2 ^{3y} \right) = 0}\)
Wtedy wychodzi mi, że \(\displaystyle{ x=y}\) lub \(\displaystyle{ x=-y}\), czyli \(\displaystyle{ \left| x\right|=\left| y\right|}\)
Ale intuicja podpowiada mi, że w dowodzie nie powinienem tego zakładać, bo np. 5-5 też jest równe 0.
Kolejnym pomysłem też było to, żeby przekształcić wyrażenie
\(\displaystyle{ \left( x+y\right) = 0}\) do \(\displaystyle{ \left( x-y\right) \left( 2 ^{2x+2y}-2 ^{x+y} \right) + \left( x+y\right)\left( 2 ^{3x}-2 ^{3y} \right) = 0}\)
I analogicznie przekształcić \(\displaystyle{ \left( x-y\right) = 0}\) do tej postaci, a jeśli z oboma równaniami można to zrobić, to powinno być to udowodnione.
Ale też nie wiem, czy w taki sposób można poprowadzić dowód.
Najlepszą opcją wydawałoby się rozłożenie tego równania do iloczynu
\(\displaystyle{ \left( x+y\right) \left( x-y\right) = 0}\)
Lub coś podobnego, np.
\(\displaystyle{ \left( 2 ^{x+y}-1 \right) \left( 2 ^{3x}-2 ^{3y} \right) = 0}\)
Ale nie wiem, w jaki sposób się do tego zabrać.
Dlatego proszę o naprowadzenie i odpowiedź na pytanie, czy w ten pierwszy lub drugi sposób można przeprowadzić ten dowód, ale NIE CHCĘ ODPOWIEDZI – tylko takie „wskazanie drogi”.

Z góry dziękuję

Dodano po 3 dniach 2 godzinach 27 minutach 9 sekundach:
Już znam odpowiedź

Umieszczanie zadań z trwającej Olimpiady Matematycznej jest karane banem.

JK