Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ m \in \RR}\), równanie \(\displaystyle{ ||x-4|-1|=5-m}\) ma dokładnie dwa rozwiązania przeciwnych znaków?
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Tyle tych modułów i jeszcze ten parametr, że się gubię.
Dla jakiej wartości parametru m
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34218
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5197 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dla jakiej wartości parametru m
Jeszcze ściślej
\(\displaystyle{ \begin{cases} ||x- 4| -1| < 0, \ \ gdy \ \ 5-m<0 \\ ||x-4| -1| = 0, \ \ gdy \ \ 5-m = 0 \\ ||x-4| -1| >0, \ \ gdy \ \ 5-m >0 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} ||x- 4| -1| < 0, \ \ gdy \ \ 5-m<0 \\ ||x-4| -1| = 0, \ \ gdy \ \ 5-m = 0 \\ ||x-4| -1| >0, \ \ gdy \ \ 5-m >0 \end{cases} }\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Dla jakiej wartości parametru m
Kod: Zaznacz cały
https://www.youtube.com/watch?v=tXc33WcevqIDo rzeczy (wstyd mi, że kiedyś kupowałem gazetę o tym tytule): algebraicznie to po prostu najpierw zauważasz, że musi być \(\displaystyle{ m\le 5}\), a potem
\(\displaystyle{ ||x-4|-1|=5-m \Leftrightarrow |x-4|-1=5-m \vee |x-4|-1=m-5}\), każdy z tych przypadków rozpisujesz znowu na dwa przypadki, jak w szkole, i tyle. Trochę nudnych przypadków do rozpatrzenia.
A jak tak bardzo nie lubisz nadmiaru modułów, to można postąpić tak: podstawiamy \(\displaystyle{ t=|x-4|}\) (oczywiście musi być \(\displaystyle{ t\ge 0}\)), przy założeniu \(\displaystyle{ m\le 5}\) podnosimy wyjściowe równanie stronami do kwadratu i mamy równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t}\) z parametrem \(\displaystyle{ m}\), które można pojechać wyróżnikiem i wzorami Viete'a.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Dla jakiej wartości parametru m
A najprościej to chyba zauważyć, że jeżeli oznaczymy `f(x)=||x-4|-1|`, to
`f(4+s)=f(4-s)`. Jeżeli zatem istnieje rozwiązanie większe od `4`, to istnieje również drugie rozwiązanie - mniejsze od `4`.
Przy ustalonej wartości parametru `m` równanie `f(x)=5-m` ma dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy równanie `|s-1|=5-m` ma jedno rozwiązanie dla `s\in[0,\infty)`.
`|s-1|` maleje przy `0\le s\le 1` od `1` do `0` i rośnie w przedziale `1\le s\le \infty`. Które wartości przyjmuje tylko jeden raz?
`f(4+s)=f(4-s)`. Jeżeli zatem istnieje rozwiązanie większe od `4`, to istnieje również drugie rozwiązanie - mniejsze od `4`.
Przy ustalonej wartości parametru `m` równanie `f(x)=5-m` ma dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy równanie `|s-1|=5-m` ma jedno rozwiązanie dla `s\in[0,\infty)`.
`|s-1|` maleje przy `0\le s\le 1` od `1` do `0` i rośnie w przedziale `1\le s\le \infty`. Które wartości przyjmuje tylko jeden raz?
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3389
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Dla jakiej wartości parametru m
No, ale ja chcę właśnie taką nudną schematyczną metodę algebraiczną, która w tego typu zadaniach zawsze prowadzi do celu. No dobra to w ten sposób co piszesz rozpisałem i dostałem:Premislav pisze: ↑12 mar 2022, o 23:37Do rzeczy (wstyd mi, że kiedyś kupowałem gazetę o tym tytule): algebraicznie to po prostu najpierw zauważasz, że musi być \(\displaystyle{ m\le 5}\), a potem
\(\displaystyle{ ||x-4|-1|=5-m \Leftrightarrow |x-4|-1=5-m \vee |x-4|-1=m-5}\), każdy z tych przypadków rozpisujesz znowu na dwa przypadki, jak w szkole, i tyle. Trochę nudnych przypadków do rozpatrzenia.
\(\displaystyle{ x=10-m \vee x=m-2 \vee x=m \vee x=8-m}\)
No i co dalej?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dla jakiej wartości parametru m
\(\displaystyle{ ||x-4|-1|=5-m }\)
1.
\(\displaystyle{ 5-m <0,\ \ m>5 }\) - równanie sprzeczne, bo moduł liczby jest liczbą nieujemną.
2.
\(\displaystyle{ 5-m = 0, \ \ m =5 }\)
Równanie \(\displaystyle{ ||x-4|-1|= 0 , \ \ |x-4| = 1, \ \ x_{1}= 3, \ \ x_{2} = 5 }\) - równanie ma dwa różne rozwiązania nieprzeciwnych znaków
3.
\(\displaystyle{ 5-m >0, \ \ m<5 }\)
\(\displaystyle{ ||x-4|-1|=5-m }\)
Podnosimy obie strony równania do kwadratu
\(\displaystyle{ (x-4)^2 -2|x-4| +1 = 25 -10m + m^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2-8x +16 -2|x-4|+1 = 25 -10m +m^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2 -8x -2|x-4| -m^2+10m -8 = 0 }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 -8x +2(x-4)-m^2+10m -8 = 0 \ \ \wedge x< 4 \\ x^2 -8x -m^2+10m -8 = 0 \ \ \wedge x =4 \\ x^2 -8x -2(x-4)-m^2+10m -8 = 0 \ \ \wedge x> 4 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 -6x -m^2+10m -16 = 0 \ \ (1) \ \ \wedge x< 4 \\ x^2 -8x -m^2+10m -8 = 0 \ \ (2) \ \ \wedge x =4 \\ x^2 -10x-m^2+10m = 0 \ \ (3) \ \ \wedge x > 4 \end{cases} }\)
Równanie kwadratowe \(\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 }\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a >0 \\ \Delta > 0 \\ x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} = 0 \end{cases} }\)
Proszę zauważyć, że dla żadnego z równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\) nie jest spełniony warunek zerowej sumy pierwiastków (suma ta nie zależy od parametru \(\displaystyle{ m) }\)
\(\displaystyle{ (1) \ \ x_{1}+x_{2} = \frac{6}{1} = 6>0,}\)
\(\displaystyle{ (2) \ \ x_{1}+x_{2} = \frac{8}{1} = 8 >0, }\)
\(\displaystyle{ (3) \ \ x_{1}+x_{2} = \frac{10}{1} = 10 >0 }\)
\(\displaystyle{ m\in ( -\infty, 5) \wedge m \in\emptyset \rightarrow m\in \emptyset.}\)
1.
\(\displaystyle{ 5-m <0,\ \ m>5 }\) - równanie sprzeczne, bo moduł liczby jest liczbą nieujemną.
2.
\(\displaystyle{ 5-m = 0, \ \ m =5 }\)
Równanie \(\displaystyle{ ||x-4|-1|= 0 , \ \ |x-4| = 1, \ \ x_{1}= 3, \ \ x_{2} = 5 }\) - równanie ma dwa różne rozwiązania nieprzeciwnych znaków
3.
\(\displaystyle{ 5-m >0, \ \ m<5 }\)
\(\displaystyle{ ||x-4|-1|=5-m }\)
Podnosimy obie strony równania do kwadratu
\(\displaystyle{ (x-4)^2 -2|x-4| +1 = 25 -10m + m^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2-8x +16 -2|x-4|+1 = 25 -10m +m^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2 -8x -2|x-4| -m^2+10m -8 = 0 }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 -8x +2(x-4)-m^2+10m -8 = 0 \ \ \wedge x< 4 \\ x^2 -8x -m^2+10m -8 = 0 \ \ \wedge x =4 \\ x^2 -8x -2(x-4)-m^2+10m -8 = 0 \ \ \wedge x> 4 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 -6x -m^2+10m -16 = 0 \ \ (1) \ \ \wedge x< 4 \\ x^2 -8x -m^2+10m -8 = 0 \ \ (2) \ \ \wedge x =4 \\ x^2 -10x-m^2+10m = 0 \ \ (3) \ \ \wedge x > 4 \end{cases} }\)
Równanie kwadratowe \(\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 }\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a >0 \\ \Delta > 0 \\ x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} = 0 \end{cases} }\)
Proszę zauważyć, że dla żadnego z równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\) nie jest spełniony warunek zerowej sumy pierwiastków (suma ta nie zależy od parametru \(\displaystyle{ m) }\)
\(\displaystyle{ (1) \ \ x_{1}+x_{2} = \frac{6}{1} = 6>0,}\)
\(\displaystyle{ (2) \ \ x_{1}+x_{2} = \frac{8}{1} = 8 >0, }\)
\(\displaystyle{ (3) \ \ x_{1}+x_{2} = \frac{10}{1} = 10 >0 }\)
\(\displaystyle{ m\in ( -\infty, 5) \wedge m \in\emptyset \rightarrow m\in \emptyset.}\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Dla jakiej wartości parametru m
Słowo "nieprzeciwne" brzmi nieprzeciętniejanusz47 pisze: ↑14 mar 2022, o 08:15 \(\displaystyle{ ||x-4|-1|=5-m }\)
1.
\(\displaystyle{ 5-m <0,\ \ m>5 }\) - równanie sprzeczne, bo moduł liczby jest liczbą nieujemną.
2.
\(\displaystyle{ 5-m = 0, \ \ m =5 }\)
Równanie \(\displaystyle{ ||x-4|-1|= 0 , \ \ |x-4| = 1, \ \ x_{1}= 3, \ \ x_{2} = 5 }\) - równanie ma dwa różne rozwiązania nieprzeciwnych znaków
Zważywszy na to, że liczby `2028` i `-2024` mają przeciwne znaki i są rozwiązaniami równania dla `m=-2022`, wyciągamy (nie po raz pierwszy zresztą) wniosek, że "rozwiązania" janusz47 należy traktować z dużą dozą nieufności.3.
\(\displaystyle{ 5-m >0, \ \ m<5 }\)
\(\displaystyle{ ||x-4|-1|=5-m }\)
Podnosimy obie strony równania do kwadratu
\(\displaystyle{ (x-4)^2 -2|x-4| +1 = 25 -10m + m^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2-8x +16 -2|x-4|+1 = 25 -10m +m^2 }\)
\(\displaystyle{ x^2 -8x -2|x-4| -m^2+10m -8 = 0 }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 -8x +2(x-4)-m^2+10m -8 = 0 \ \ \wedge x< 4 \\ x^2 -8x -m^2+10m -8 = 0 \ \ \wedge x =4 \\ x^2 -8x -2(x-4)-m^2+10m -8 = 0 \ \ \wedge x> 4 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 -6x -m^2+10m -16 = 0 \ \ (1) \ \ \wedge x< 4 \\ x^2 -8x -m^2+10m -8 = 0 \ \ (2) \ \ \wedge x =4 \\ x^2 -10x-m^2+10m = 0 \ \ (3) \ \ \wedge x > 4 \end{cases} }\)
Równanie kwadratowe \(\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 }\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a >0 \\ \Delta > 0 \\ x_{1}+x_{2} = -\frac{b}{a} = 0 \end{cases} }\)
Proszę zauważyć, że dla żadnego z równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\) nie jest spełniony warunek zerowej sumy pierwiastków (suma ta nie zależy od parametru \(\displaystyle{ m) }\)
\(\displaystyle{ (1) \ \ x_{1}+x_{2} = \frac{6}{1} = 6>0,}\)
\(\displaystyle{ (2) \ \ x_{1}+x_{2} = \frac{8}{1} = 8 >0, }\)
\(\displaystyle{ (3) \ \ x_{1}+x_{2} = \frac{10}{1} = 10 >0 }\)
\(\displaystyle{ m\in ( -\infty, 5) \wedge m \in\emptyset \rightarrow m\in \emptyset.}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dla jakiej wartości parametru m
Traktuj inne rozwiązania - proste i czytelne z ufnością!
Dodano po 4 minutach 39 sekundach:
Możesz sprawdzić, że licząc wprost miejsca zerowe równań kwadratowych \(\displaystyle{ (1),(2),(3) }\) otrzymasz \(\displaystyle{ m\in \emptyset. }\)
Dodano po 4 minutach 39 sekundach:
Możesz sprawdzić, że licząc wprost miejsca zerowe równań kwadratowych \(\displaystyle{ (1),(2),(3) }\) otrzymasz \(\displaystyle{ m\in \emptyset. }\)