Matematyka.pl

Proszę o pomoc w poniższym zadaniu:

Zbadaj istnienie rozwiązań poniższych układów równań korzystając z twierdzenia Kroneckera - Capelliego i rozwiąż je

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y+3z=14\\3x+y+2z=11\\2x+3y+z=11 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x-6y=0\\6x+9y=0\end{cases}}\)

Z góry dzięki za pomoc. Pozdrawiam.


Nie stosuj słów typu "Pomocy", "Pilne" w temacie!
~maniek

Tworzymy macierz rozszerzoną \(\displaystyle{ A|B}\):
\(\displaystyle{ A|B=\begin{bmatrix} 1&2&3&| 14\\3&1&2&| 11\\2&3&1&| 11\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2&3&| 14\\0&-5&-7&| -31\\0&-1&-5&| -17\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2&3&| 14\\0&-1&-5&| -17\\0&-5&-7&| -31\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2&3&| 14\\0&-1&-5&| -17\\0&0&18&| 54\end{bmatrix}}\)

Wyznaczamy rząd macierzy A:
\(\displaystyle{ rzA=3}\), bo \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&2&3\\0&-1&-5\\0&0&18\end{vmatrix} 0}\)

Rząd macierzy A|B:
\(\displaystyle{ rzA|B=3}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ rzA=rzA|B}\), więc układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie).