czworokąt opisany na okręgu

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
batomski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 10 gru 2007, o 19:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

czworokąt opisany na okręgu

Post autor: batomski » 6 sty 2009, o 01:24

Mam problem z takim zadaniem, może mnie ktos naprowadzic:

Zad.
W kole ośrodku O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD oraz cięciwę AM przecinającą średnica CD w punkcie K. Dla jakiej miary kąta między cięciwą AM a średnicą AB w czworokąt OBMK mozna wpisać okrąg?

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16293
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

czworokąt opisany na okręgu

Post autor: anna_ » 6 sty 2009, o 15:34



Trójkąt ABM jest prostokątny.
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{|MB|}{|AB|}\\
|MB|=2rsin\alpha\\
cos\alpha= \frac{|AM|}{|AB|}\\
|AM|=2rcos\alpha}\)

Trójkąt AOK jest prostokątny
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{|KO|}{|AO|}\\
|KO|=rtg\alpha\\}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{|AO|}{|AK|}\\
|AK|= \frac{r}{cos\alpha}}\)



\(\displaystyle{ |KM|=|AM|-|AK|\\
|KM|=2rcos\alpha-\frac{r}{cos\alpha}}\)


Aby w czworokąt OBK można było wpisać okrąg musi być spełniony warunek:
\(\displaystyle{ |OB|+|KM|=|KO|+|MB|\\
r+2rcos\alpha-\frac{r}{cos\alpha}=rtg\alpha+2rsin\alpha}\)

Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

czworokąt opisany na okręgu

Post autor: marcinn12 » 6 sty 2009, o 16:17

Zadanie ma wiele sposóbów rozwiązania.
O to one: http://www.zadania.info/3858768 (sposób 2 chyba najlepszy bo nie ma żadnej trygonometrii - prawie ;p)

ODPOWIEDZ