Matematyka.pl

1) Wiadomo, że suma współczynników dwu ostatnich wyrazów rozwinięcia dwumianu \(\displaystyle{ (x+\frac{1}{x^{2}})^{n}, (x 0)}\) wynos 19. Wyznacz szósty wyraz tego rozwinięcia.

2) Wyznacz wyraz rozwinięcia \(\displaystyle{ (\sqrt{x} -\frac{1}{ \sqrt[4]{x} })^{20},(x 0)}\), który zawiera \(\displaystyle{ x^{4}}\)

Gdzieś robię błąd, a nerwowo nie podołam

Mam identyczny problem mógł by ktoś to rozwiązać

wskazówka do podpunktu 1 skoro wiadomo ze suma dwóch ostatnich wynosi 19 to
\(\displaystyle{ {n \choose n-1} + {n \choose n} =19}\) a skoro wiadomo ze
\(\displaystyle{ {n \choose n-1}= {n \choose 1}=n}\)
\(\displaystyle{ {n \choose n} = {n \choose o}=1}\)
wiec \(\displaystyle{ {n \choose 1} + {n \choose 0} =19}\) co daje nam
\(\displaystyle{ n+1=19}\) czyli \(\displaystyle{ n=18}\) dalej juz umiesz

Wskazówka do 2:

Po rozpisaniu dwumianu Newtona, ogólny wyraz ma postać:

\(\displaystyle{ {n \choose k}a^{n-k}b^k}\)

W naszym wypadku:

\(\displaystyle{ {20 \choose k}( \sqrt{x})^{20-k} \cdot (- \frac{1}{ \sqrt[4]{x} })^k}\)

Teraz zapisz wszystko w postaci jednej potęgi x. Przyrównaj to, co otrzymasz do \(\displaystyle{ x^4}\), porównaj wykładniki potęg (będą miały te same podstawy), wyznacz k.