całki nieoznaczone

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
derbixxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 lis 2008, o 00:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 3 razy

całki nieoznaczone

Post autor: derbixxx » 5 sty 2009, o 19:45

Proszę bardzo o pomoc w rozwiązaniu tej całki, pewnie są proste, ale mój trop jest mylny :/

1. \(\displaystyle{ \int}\) \(\displaystyle{ (x^{2}+4) ^{5}x}\)
2. \(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ \frac{xdx}{(x ^{2}+3)^{6}}}\)
3. \(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ xsin(2x ^{2} +1) }\) - probowałem przez części ale wychodzą jakieś mało prawdopodobne wyniki
4. \(\displaystyle{ \int}\) \(\displaystyle{ \frac{tgx}{cos^{2}x} }\) - starałem się zrobić z podstawieniem \(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx}}\) za \(\displaystyle{ tgx}\) i później przez części
5. \(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ \frac{cosx}{\sqrt{1-sin^{2}x }} }\) - prawdopodobny jest wynik (po podstawieniu \(\displaystyle{ t=sinx}\)) \(\displaystyle{ arcsint+C}\), czyli byloby, ze \(\displaystyle{ arcsin(sinx)+C}\)?

Dziękuję!

Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

całki nieoznaczone

Post autor: sea_of_tears » 5 sty 2009, o 19:50

\(\displaystyle{ \int (x^2+4)^5 x dx=
\begin{cases}
t=x^2+4 \\
dt=2x dx
\end{cases}
\newline
=\frac{1}{2}\int t^5 dt =
\frac{1}{2} \frac{t^6}{6}+c=\frac{t^6}{12} +c =\frac{(x^2+4)^6}{12}+c}\)


[ Dodano: 5 Stycznia 2009, 19:53 ]
\(\displaystyle{ \int\frac{xdx}{(x^2+3)^6}=
\begin{cases}
t=x^2+3 \\
dt=2x dx
\end{cases}
\newline
\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^6}=
\frac{1}{2}\int t^{-6} dt=
\frac{1}{2} (-\frac{1}{5}t^{-5})+c =
-\frac{1}{10}\frac{1}{t^5}+c=
-\frac{1}{10}\frac{1}{(x^2+3)^5}+c}\)
Ostatnio zmieniony 5 sty 2009, o 19:53 przez sea_of_tears, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Nakahed90
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

całki nieoznaczone

Post autor: Nakahed90 » 5 sty 2009, o 19:53

\(\displaystyle{ tgx=t}\)
\(\displaystyle{ dt=\frac{dx}{cos^{2}x}}\)
\(\displaystyle{ =\int tdt=\frac{t^{2}}{2}+C=\frac{tg^{2}x}{2}+C}\)

[ Dodano: 5 Stycznia 2009, 19:54 ]
\(\displaystyle{ 1-sin^{2}x=cos^{2}x}\)

[ Dodano: 5 Stycznia 2009, 19:55 ]
\(\displaystyle{ 2x^{2}+1=t}\)
\(\displaystyle{ dt=4xdx}\)

Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

całki nieoznaczone

Post autor: sea_of_tears » 5 sty 2009, o 19:55

\(\displaystyle{ \int xsin(2x^2+1)dx=
\begin{cases}
t=2x^2+1 \\
dt=4x dx
\end{cases}
\newline
=\frac{1}{4}\int sint dt=-\frac{1}{4}cost+c=-\frac{1}{4}cos(2x^2+1)+c}\)

derbixxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 lis 2008, o 00:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 3 razy

całki nieoznaczone

Post autor: derbixxx » 6 sty 2009, o 21:13

1. \(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ \frac{cosx}{\sqrt{1-sin^{2}x}}dx}\)
2. \(\displaystyle{ \int}\)\(\displaystyle{ x^{2}cosxdx}\) - przez częsci dziwnie coś mi wychodzi ta całka

Awatar użytkownika
Nakahed90
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

całki nieoznaczone

Post autor: Nakahed90 » 6 sty 2009, o 21:35

\(\displaystyle{ 1-sin^{2}x=cos^{2}x}\)

derbixxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 lis 2008, o 00:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 3 razy

całki nieoznaczone

Post autor: derbixxx » 6 sty 2009, o 21:39

Nakahed90 pisze:\(\displaystyle{ 1-sin^{2}x=cos^{2}x}\)
Wiem, wiem czyli całka nr 1 lekko bezsensowna??


Co do calki nr 2 to juz mam jednak miałem dobrze, tylko cos mi się nie podobało, ale posprawdzalem i jest ok dzięki!

Awatar użytkownika
gufox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 979
Rejestracja: 28 paź 2008, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 56 razy
Pomógł: 89 razy

całki nieoznaczone

Post autor: gufox » 6 sty 2009, o 21:42

sinx=t w 1 calce i pojdzie na arcsin t
Ostatnio zmieniony 6 sty 2009, o 21:47 przez gufox, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Nakahed90
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

całki nieoznaczone

Post autor: Nakahed90 » 6 sty 2009, o 21:47

\(\displaystyle{ =\left|\begin{array}{cc}u=x^{2}&du=2xdx\\dv=cosxdx&v=sinx\end{array}\right|=x^{2}sinx-2\int xsinxdx=\left|\begin{array}{cc}u=x&du=dx\\dv=sinxdx&v=-cosx\end{array}\right|=x^{2}sinx+2xcosx-2\int cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+C=2xcosx+(x^{2}-2)sinx+C}\)

derbixxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 lis 2008, o 00:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 3 razy

całki nieoznaczone

Post autor: derbixxx » 6 sty 2009, o 21:49

gufox pisze:sinx=t w 1 calce i pojdzie na arcsin t
czyli wynik w stylu \(\displaystyle{ arcsin(sinx)+C}\) jest w porządku??

ODPOWIEDZ