Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: _Mithrandir » 5 sty 2009, o 19:04

Z liczb należących do zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2, ..., n\}}\) tworzymy wszystkie trójwyrazowe ciągi. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrany losowo jeden taki ciąg będzie monotoniczny.



Założyłem, że \(\displaystyle{ \Omega=v^3_n=\frac{n!}{(n-3)!}=(n-2)(n-1)n}\)

Dobrze?

I jak obliczyć A?

Przy czym prawdopodobieństwo: \(\displaystyle{ P(A)=\frac{A}{\Omega}}\).

W odpowiedziach jest wynik: \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-2)}{3n^2}}\) i wskazówka: "Zauważ, że liczba zdarzeń sprzyjających będzie równa podwojonej liczbie trzyelementowych kombinacji danego zbioru"

Może ktoś pomóc?
Ostatnio zmieniony 10 lis 2013, o 20:42 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].

Awatar użytkownika
Ateos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1101
Rejestracja: 10 maja 2008, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Swarzędz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 214 razy

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: Ateos » 5 sty 2009, o 22:15

chyba niezbyt te odpowiedzi, bo podstawmy: n=3 i mamy zbior: 1,2,3 czyli mamy 6 mozliwych ciagow(3!), a monotonicznych jest 2(1,2,3/3;2;1) wiec \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3}}\), a nie podstawiajac do odpowiedzi: \(\displaystyle{ \frac{2}{27}}\)
dla n=4 tez nie bedzie sie zgadzac

_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: _Mithrandir » 6 sty 2009, o 09:08

Czyli jak wykonać zadanie?

Awatar użytkownika
Ateos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1101
Rejestracja: 10 maja 2008, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Swarzędz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 214 razy

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: Ateos » 6 sty 2009, o 22:56

masz podpowiedz, przeciez:P
Zauważ, że liczba zdarzeń sprzyjających będzie równa podwojonej liczbie trzyelementowych kombinacji danego zbioru
czyli: \(\displaystyle{ 2 {n \choose 3}}\)
ale ta podpowiedz rozwiez jest do bani, bo dla \(\displaystyle{ n=4}\) juz sie nie zgadza.
mamy szesc takich ciagow:
\(\displaystyle{ 1;2;3\\
1;2;4\\
2:3:4\\
4:2:1\\
4:3:1\\
4:3:2}\)

a podstawiajac do wzoru z podpowiedzi dostajemy \(\displaystyle{ 8}\) takich ciagow/...

a omega to: losowanie \(\displaystyle{ 3}\) wyrazow z \(\displaystyle{ n}\) razy ilosc permutacji trzyelementowego zbioru(wtedy beda wszystkie kombinacje trzyelementowe), czyli:
\(\displaystyle{ \Omega = {n \choose 3} \cdot 3!= 6 \cdot {n \choose 3}}\)
jest dobrze bo sprawdzalem dla \(\displaystyle{ n=3,4,5}\)

zostaje znalezienie wzoru na zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) ... jak znajde to odpisze(najpozniej jutro)

[ Dodano: 6 Stycznia 2009, 23:13 ]
doszedlem do tego jak tworza sie(ile ich bedzie) ktore sa monotoniczne.
\(\displaystyle{ n=3> 1+0+1=2}\) / gdzie \(\displaystyle{ 1}\)(to ciagow monotonicznych gdzie cyfra na poczatku to \(\displaystyle{ 1, 0}\) gdzie cyfra to \(\displaystyle{ 2, 1}\) gdzie \(\displaystyle{ 3}\))
\(\displaystyle{ n=4> 3+1+1+3=8}\) (analogicznie)
\(\displaystyle{ n=5> 6+2+2+2+6=18}\) (anal.)

dalej juz nie wypisywalem wszystkich liczb, widac pewna zaleznosc: srodkowa wartosc dla nastepnego \(\displaystyle{ n}\) jest wieksza o jeden i jest ich dwa razy wiecej, oraz \(\displaystyle{ 1}\) i ostatni wyraz dla \(\displaystyle{ n}\) nastepnego jest o \(\displaystyle{ n-1}\) wiekszy od naszego \(\displaystyle{ 1}\) i ostatniego wyrazu, powinno wiec byc dla :
\(\displaystyle{ n=6> 10+3+3+3+3+10=32}\)
i sprawdzilem dla ciagow o \(\displaystyle{ 1}\) wyrazie "1" i sie zgadza. teraz tylko trzeba ulozyc wzor znajac \(\displaystyle{ n}\) oraz wynik

wykombinowalem cos takiego:

\(\displaystyle{ n=3>> 2\\
n=4>>8 (3 \cdot 4-4)\\
n=5>>18 (4 \cdot 5-2)\\
n=6>>32 (5 \cdot 6+2)}\)


czyli iloczyn \(\displaystyle{ n(n-1)}\) ale teraz dalej juz nie mam pomyslu z tym \(\displaystyle{ -2}\)
Ostatnio zmieniony 12 lis 2013, o 19:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: _Mithrandir » 7 sty 2009, o 17:21

a omega to: losowanie 3 wyrazow z n razy ilosc permutacji 3elementowego zbioru(wtedy beda wszystkie kombinacje 3 elementowe), czyli:
Kombinacje? Nie ma mowy - przecież to ciągi, czyli uporządkowany szereg elementów tzn. (1,2,3)\(\displaystyle{ \not =}\)(3,2,1) itd. Kombinacje to natomiast zbiory, czyli np. {1,2,3}={3,1,2}.

Odpowiedzi się zgadzają, jeżeli przyjmiemy, że liczby mogą się powtarzać, wtedy: \(\displaystyle{ \Omega = n^3}\) (wariacja z powtórzeniami)

Ciągów ściśle monotonicznych (rosnące/malejące) jest tak jak mówisz: \(\displaystyle{ 2(^n_3)}\)

I wtedy idzie jak trza

karka92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 161
Rejestracja: 18 maja 2010, o 10:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: brudzowice
Podziękował: 44 razy

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: karka92 » 14 paź 2010, o 13:14

mam pytanie do tego zadania rozumiem dlaczego omega wychodzi tyle ale nie rozumiem zdarzenia A mogl by mi ktos wytlumaczyc dlaczego \(\displaystyle{ A=2{n\choose 3}}\) prosze o pomoc

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: mat_61 » 14 paź 2010, o 14:47

Zadanie nie jest takie trudne jakby mogło sie wydawać:

Wszystkich ciągów 3 elementowych utworzonych ze zbioru n-elementowego jest oczywiście \(\displaystyle{ n^{3}}\) (w zadaniu nie ma nic o tym, ze ciąg musi być różnowartościowy).

Ciągów monotonicznych jest \(\displaystyle{ 2 \cdot C^{3}_{n}}\)

Dlaczego jest ich akurat tyle? Jeżeli weźmiemy wszystkie kombinacje 3-elementowe bez powtórzeń ze zbioru n liczb naturalnych to uzyskamy \(\displaystyle{ C^{3}_{n}}\) różnych zbiorów. Każdy taki zbiór można uporządkować w ciąg monotoniczny na dwa sposoby: rosnąco (od najmniejszej do największej) lub malejąco (od największej do najmniejszej)

--------------
Ateos pisze: czyli: \(\displaystyle{ 2 {n \choose 3}}\)
ale ta podpowiedz rozwiez jest do d.. bani, bo dla n=4 juz sie nie zgadza.
mamy ,,,,szesc takich ciagow:
1;2;3
1;2;4
2:3:4
4:2:1
4:3:1
4:3:2 a podstawiajac do wzoru z podpowiedzi dostajemy 8 takich ciagow/...
Zapomniałeś o ciągach (1;3;4) (3;2;1)

-- 14 paź 2010, o 13:56 --
_Mithrandir pisze:
a omega to: losowanie 3 wyrazow z n razy ilosc permutacji 3elementowego zbioru(wtedy beda wszystkie kombinacje 3 elementowe), czyli:
Kombinacje? Nie ma mowy - przecież to ciągi, czyli uporządkowany szereg elementów tzn. (1,2,3)\(\displaystyle{ \not =}\)(3,2,1) itd. Kombinacje to natomiast zbiory, czyli np. {1,2,3}={3,1,2}.
Zauważ, że jest tam mowa o kombinacji pomnożonej przez permutacje. A jest to równoważne wariacji bez powtórzeń czyli otrzymujemy ciągi a nie zbiory jak napisałeś. Błąd polega na tym, że w zadaniu chodzi o wariacje z powtórzeniami.

Mustapha Mehmed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 21 lut 2013, o 19:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: Mustapha Mehmed » 10 lis 2013, o 20:38

Jeszcze raz, tym razem do końca.


I przypadek-ciąg ma trzy różne elementy

\(\displaystyle{ \overline{A} = {n \choose 3} \cdot 2}\)
Wyjaśnienie: każda kombinacja uszeregowana rosnąco lub malejąco może być ciągiem monotonicznym

\(\displaystyle{ \overline{\Omega} = \frac{n!}{(n-3)!} =n(n-1)(n-2)}\)
Wyjaśnienie: Możliwości wyboru elementów ciągu to wariacja bez powtórzeń


\(\displaystyle{ P(A)= \frac{\overline{A}}{\overline{\Omega}} = \frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot 2}{n(n-1)(n-2)} = \frac{1}{3}}\)

II przypadek-wyrazy ciągu mogą się powtarzać

\(\displaystyle{ \overline{\Omega}= n^{3}}\)

Tutaj rozbijemy wszystkie możliwości stworzenia ciągu monotonicznego na trzy rozłączne zdarzenia:
\(\displaystyle{ A}\)-ciąg jest stały(ma trzy równe elementy)
\(\displaystyle{ \overline{A} =n}\)
\(\displaystyle{ B}\)-ciąg ma dwa powtarzające się elementy
\(\displaystyle{ \overline{B} =n(n-1) \cdot 2}\),
gdzie \(\displaystyle{ n}\) oznacza możliwości wyboru dwóch powtarzających się elementów, a \(\displaystyle{ n-1}\) trzeciego-różnego od dwóch pozostałych; mnożymy przez \(\displaystyle{ 2}\), by uzyskać rosnący i malejący ciąg
\(\displaystyle{ C}\)-ciąg ma trzy różne elementy
\(\displaystyle{ \overline{C} = {n \choose 3} \cdot 2}\),
zdarzenie identyczne jak w przypadku I

Zdarzenie \(\displaystyle{ Z}\)-ciąg jest monotoniczny
\(\displaystyle{ P(Z)=P(A)+P(B)+P(C)= \frac{\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}}{\overline{\Omega}}=\frac{n+n(n-1) \cdot 2+ {n \choose 3} \cdot 2}{n^{3}}=\\=\frac{1+2(n-1+\frac{(n-1)(n-2)}{6})}{n^{2}}=\frac{1+2(n-1)(1+\frac{n-2}{6})}{n^{2}}}\)
Ostatnio zmieniony 12 lis 2013, o 19:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: mat_61 » 11 lis 2013, o 00:53

1. Skąd ten podział na przypadki? Dlaczego mielibyśmy rozpatrywać tylko ciągi różnoelementowe? W żaden sposób nie wynika to z treści zadania.

2. Przy dwóch powtarzających się elementach nie można uzyskać ciągu rosnącego/malejącego (co najwyżej nierosnący/niemalejący)

3. Z pewnością autor zadania pod pojęciem ciągów monotonicznych rozumie tylko ciągi rosnące lub malejące, ale nie stałe, niemalejące lub nierosnące. Wynika to chociażby ze wskazówki do zadania.

Mustapha Mehmed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 21 lut 2013, o 19:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: Mustapha Mehmed » 11 lis 2013, o 07:42

Z pierwszym się zgodzę, z drugim też.
Oczywiście, chodziło mi o ciągi niemalejące i nierosnące.
Co do trzeciego...może ja jestem jakiś roszczeniowy, ale powinno to wynikać raczej z treści niż z odpowiedzi

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Prawdop. wylosowania ciągu monotonicznego.

Post autor: mat_61 » 11 lis 2013, o 10:16

Oczywiście, że jednoznaczność zadania powinna wynikać z jego treści.

Niestety nie zawsze tak jest a niechlubną palmę pierwszeństwa należy przyznać właśnie zadaniom z rachunku p-stwa i kombinatoryki (i jakoś trzeba sobie z tym radzić ).

ODPOWIEDZ