Czy liczba występuje w ciągu?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
adrian922

Czy liczba występuje w ciągu?

Post autor: adrian922 » 5 sty 2009, o 18:15

Mamy dany ciąg liczb. Do każdej liczby dodajemy sumę jej cyfr. Zaczynamy: 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49...
Czy w tym ciągu wystąpi liczba 1345626? Odpowiedź uzasadnij.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Czy liczba występuje w ciągu?

Post autor: Sylwek » 5 sty 2009, o 18:29

Niech S(n) będzie sumą cyfr liczby n, zauważ, że: \(\displaystyle{ S(n) \equiv n \ (mod \ 9)}\), czyli: \(\displaystyle{ S(n)+n \equiv 2n \ (mod \ 9)}\). Przypuśćmy, że 1345626 występuje w tym ciągu - jest podzielna przez 9, zatem wnioskujemy, że poprzednia liczba w tym ciągu też była podzielna przez 9 - powtarzając to rozumowanie dostajemy, że każdy wyraz tego ciągu jest podzielny przez 9 - ale np. pierwszy wyraz równy 1 nie jest podzielny przez 9 - sprzeczność. Zatem ta liczba nie występuje w tym ciągu.

ODPOWIEDZ