1) Całka równania pierwszego to suma całki ogólnej (równanie jednorodne) i całki szczególnej (równanie niejednorodne) tego równania:
\(\displaystyle{ y=y_0+y_1}\)
RJ:
Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ y''+2y'+y=0}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ y=e^{rx}}\)
\(\displaystyle{ r^2e^{rx}+2re^{rx}+e^{rx}=0 \\ \\
r^2+2r+1=0 (r+1)^2=0 r=-1}\)
W związku z tym, że istnieje jeden pierwiastek podwójny to całka ogólna równania
\(\displaystyle{ R_j}\) ma postać:
\(\displaystyle{ y_0=(C_1x+C_2)e^{-x}}\)
RNJ:
W związku z tym, że po prawej stronie równania niejednorodnego jest wielomian pierwszego stopnia całkę szczególną przewidujemy jako funkcję liniową postaci:
\(\displaystyle{ y_1=ax+b}\)
Z tego mamy:
\(\displaystyle{ y'_1=a y''_1=0}\)
Wstawiamy dó równania wejściowego i mamy:
\(\displaystyle{ 2a+ax+b \equiv 3x \\ \\ x(2a+1)+b \equiv 3x \\ \\ a=1 b=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ y_1=x}\)
Czyli całka naszego równania wygląda tak:
\(\displaystyle{ y=(C_1x+C_2)e^{-x}+x}\)
2) Podobnie, ale już bez wnikania w szczegóły;
RJ:
\(\displaystyle{ r=3 y_0=(C_1x+C_2)e^{3x}}\)
RNJ: przewidujemy w postaci:
\(\displaystyle{ y_1=ae^x y'_1=ae^x y''_1=ae^x}\)
Wstawiamy do równania i mamy:
\(\displaystyle{ ae^x-6ae^x+9ae^x=4e^x a=1}\)
Czyli ostateczne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=y_0+y_1=(C_1x+C_2)e^{3x}+e^x}\)