Zakład o wysoką stawkę ; )

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Ithindir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 4 sty 2009, o 23:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Zakład o wysoką stawkę ; )

Post autor: Ithindir » 4 sty 2009, o 23:29

Witam!
Właśnie założyłem się z ojcem, o bardzo prosty, matematyczny problem. Jestem pewien swoich racji, jednak nawet rozrysowując drzewko całego zadania i wyliczając wszystko, nie byłem w stanie ich udowodnić, dlatego też proszę o pomoc autorytetów z tego zacnego forum ; ).
Sprawa przedstawia się tak:

W pewnej grze pierwszy gracz po przetasowaniu trzech kart (Asa i dwóch dziewiątek) i położeniu ich na stole koszulkami do góry, prosi drugiego gracza o wybranie jednej z nich. Zanim zobaczą, jaką kartę wybrał, gracz pierwszy odsłania jedna z pozostałych na stole i jeśli jest to dziewiątka, pozwala drugiemu na zmianę wybranej przez siebie karty. Gra, jak łatwo można się domyślić, polega na odnalezieniu Asa.

Pytanie jest takie - czy gracz drugi, zmieniając swój początkowy wybór, po odkryciu jednej z pozostałych kart zwiększa prawdopodobieństwo na trafienie asa?
Uważam, że nie. Proszę o pomoc w udowodnieniu tego, bądź obaleniu mojej tezy i zmieszaniu całego mojego matematyczno-logicznego wszechświata z błotem.
Ostatnio zmieniony 4 sty 2009, o 23:45 przez Ithindir, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
adash
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 12 gru 2007, o 01:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 12 razy

Zakład o wysoką stawkę ; )

Post autor: adash » 4 sty 2009, o 23:34

Mi wydaje się, że szanse na odkrycie Asa są takie same. Jednak po obejrzeniu filmu 21, gdzie była scena pt. "wykład". Gościu też stwierdził, że zwiększa swoje szanse... Dlaczego? Nie wiem

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Zakład o wysoką stawkę ; )

Post autor: Sylwek » 4 sty 2009, o 23:53

To jest "Paradoks Monty Halla", na polskiej Wikipedii jest to dość pobieżnie opisane, na angielskiej jest znacznie więcej: http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

Urywek z polskiej Wiki:
Załóżmy, że zawodnik wskazuje pierwotnie bramkę, za którą jest nagroda (zdarza się to z prawdopodobieństwem 1/3). Prowadzący program odsłoni wtedy jedną z pozostałych bramek i wówczas zmiana wyboru z pewnością doprowadzi do przegranej.

Jeżeli jednak zawodnik początkowo wskazuje bramkę pustą (a dzieje się tak z prawdopodobieństwem 2/3), wówczas prowadzący program musi odsłonić drugą z dwóch pustych bramek. Zmiana wyboru przez zawodnika w tym przypadku doprowadzi do pewnej wygranej.

Paradoks polega na tym, że intuicyjnie przypisujemy równe szanse dwu sytuacjom -- wskazanie wygranej w jednej z dwóch zakrytych ciągle bramek wydaje się "równie prawdopodobne" jak posiadanie bramki pustej, bo przecież "nic nie wiadomo". Tymczasem układ jest warunkowany przez początkowy wybór zawodnika i obie sytuacje nie pojawiają się równie często.

W pewnym sensie zmiana bramki zamienia miejscami prawdopodobieństwa – prawdopodobieństwo przegranej staje się prawdopodobieństwem wygranej i odwrotnie. Przy pierwszym wyborze łatwiej jest spudłować, zatem "strategia zmiany" prowadzi do łatwiejszej wygranej.
Ostatnio zmieniony 4 sty 2009, o 23:55 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Zakład o wysoką stawkę ; )

Post autor: » 4 sty 2009, o 23:54

Tata ma rację.

Bez wzorów można uzasadnić to tak - jeśli wybraliśmy jakąś kartę i jej jeszcze nie odkryliśmy, to mamy szansę \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) , że to as, oraz szansę \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) , że as jest w tej dwuelementowej kupce niewybranej. Zatem sytuacja, w której wiemy która karta z tej drugiej kupki nie jest asem, powoduje, że - o ile jest w niej as - wiemy która z nich jest asem. Zatem jeśli zmienimy wybór, to będziemy mieć szansę na trafienia asa równą \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

Q.

Ithindir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 4 sty 2009, o 23:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Zakład o wysoką stawkę ; )

Post autor: Ithindir » 5 sty 2009, o 00:12

No tak, wszystko się rozstrzygnęło - nie jest to "Paradoks Monty Halla", gdyż uznałem, że tasujący (gracz 1) nie wie, która karta jest dziewiątką i jest prawdopodobieństwo, że wybierze asa i gra się skończy. Zreszta, zaznaczyłem to w samym zadaniu:
i jeśli jest to dziewiątka, pozwala drugiemu na zmianę wybranej przez siebie karty
W podanym przez was paradoksie, "gracz 1" zawsze odkrywa "pustą bramkę" bądź "dziewiątkę".

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Zakład o wysoką stawkę ; )

Post autor: Sylwek » 5 sty 2009, o 16:31

Aha, rzeczywiście. W takim razie wychodzi, że te prawdopodobieństwa są takie same.

a) gracz nie zmienia wyboru - wówczas oczywiście szansa wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

b) gracz zmienia wybór - wówczas jedyna sytuacja, która sprzyja wygranej, to gdy gracz na początku wylosuje dziewiątkę, a następnie bankier odkryje dziewiątkę - prawdopodobieństwo wynosi: \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \frac{1}{2}=\frac{1}{3}}\)

ODPOWIEDZ