obliczanie granicy z definicji

[Andreas]

Udowodnić że

\(\displaystyle{ 1) \lim_{ n\to } n^{2} = + }\)
\(\displaystyle{ 2) \lim_{ n\to } ft(-5 \right) ^{n}}\) nie istnieje

Jak to zrobić korzystając z definicji granicy? :/

[Lorek]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n^2=\infty \iff \forall A>0\; \exists k \;\forall n : \; (n>k\Rightarrow n^2>A)\\n^2>A\Rightarrow n>\sqrt{A}}\)
czyli wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ k=\sqrt{A}}\) żeby zachodziła implikacja
\(\displaystyle{ n>k\Rightarrow n^2>A}\)

[Andreas]

Nie bardzo rozumiem :/
Gdzie ten dowód uwzględnia \(\displaystyle{ \infty}\)? Gdyby tam było \(\displaystyle{ - \infty}\) to wychodzi na to że też by było dobrze...

I rozumiem że "A" to \(\displaystyle{ \varepsilon}\) (epsilon) ?

ja jak liczę taką granicę (z definicji) gdzie g = jakaś stała to robię tak

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} =0}\)

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon > 0} \bigvee_n \bigwedge_{n > k} ft| \frac{1}{n}-0 \right| < \varepsilon}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n} -0 < \varepsilon}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\varepsilon} < n}\)
Tylko że dla granicy z \(\displaystyle{ \infty}\) nie da się tym sposobem..


No i co z tą drugą granicą którą podałem w pierwszym poście?

[miodzio1988]

2 granica:
wezmu dwa podciagi: n=2k k jest liczba calkowita i n=2k+1 k jest liczba calkowita. zbadaj granice dla tych podciagow. Granice sie roznia tzn ze granica ciagu wyjsciowego nie istnieje:D

[Lorek]

Gdzie ten dowód uwzględnia ?

Tu:
\(\displaystyle{ \forall A>0\; \exists k \;\forall n : \; (n>k\Rightarrow n^2>A)}\)
tak dokładniej to wygląda tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n=\infty \iff \forall A>0\; \exists k \;\forall n : \; (n>k\Rightarrow a_n>A)}\)

I rozumiem że "A" to varepsilon (epsilon) ?

ja jak liczę taką granicę (z definicji) gdzie g = jakaś stała to robię tak

Granica ciągu zbieżnego a rozbieżnego do \(\displaystyle{ \pm }\) to nie to samo