Oblicz granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Ośka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 20 lis 2008, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno

Oblicz granice

Post autor: Ośka » 4 sty 2009, o 17:19

Obliczyć granice. Przy pomocy L'Hospital'a

\(\displaystyle{ \lim_{x \to0^+ } (ln cos2x)^{ \frac{1}{x^2}}\)

Pozdrawiam

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Oblicz granice

Post autor: Grzegorz t » 4 sty 2009, o 18:11

Nie wiem, po co utrudniać sobie obliczenia, wprost widać, że



\(\displaystyle{ \lim_{x \to0^+ } (ln cos2x)^{ \frac{1}{x^2}}=(0^{-})^{\infty}=0}\)

Ośka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 20 lis 2008, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno

Oblicz granice

Post autor: Ośka » 4 sty 2009, o 18:21

Wydawało by się to takie oczywiste, ale czy to nie jest przypadkiem symbol nie oznaczony;).

Mało tego odpowiedź podana jest taka \(\displaystyle{ e^{-2}}\)

Mi wychodzi raz \(\displaystyle{ e^{-1}}\) a innym razem \(\displaystyle{ e^{- \frac{1}{2} }}\)

Za Diabła nie może mi wyjść \(\displaystyle{ e^{-2}}\)

Pozdrawiam

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Oblicz granice

Post autor: Grzegorz t » 4 sty 2009, o 21:02

nie wiem, czy w ogóle podałeś poprawnie tą granicę, gdyby było

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}}(cos2x)^{ \frac{1}{x^2} }= \lim_{x \to 0^{+}}e^{ \frac{1}{x^2}\cdot lncos2x } =e^{-2}}\)

Ośka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 20 lis 2008, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno

Oblicz granice

Post autor: Ośka » 5 sty 2009, o 08:28

Podałem tak jak jest w książce;)

Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Oblicz granice

Post autor: Lorek » 5 sty 2009, o 17:49

Noo to z tym logarytmem to ciężko będzie, bo wtedy dziedziną są pojedyncze punkty i się granicy nie policzy.

Awatar użytkownika
Frey
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3296
Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 243 razy

Oblicz granice

Post autor: Frey » 5 sty 2009, o 21:43

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}\cdot lncos2x}\)

mógłby ktoś pokazać jak to zbiega do -2, przy x dążącym do zera (prawostronnie).
Tak z ciekawości się pytam.

Ośka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 20 lis 2008, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno

Oblicz granice

Post autor: Ośka » 5 sty 2009, o 21:45

No włąsnie i tu jest problem;)
Dlatego wnioskuje że jest tu błąd

Awatar użytkownika
Frey
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3296
Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 243 razy

Oblicz granice

Post autor: Frey » 5 sty 2009, o 22:03

Z kosmosu się to nie wzięło (jak już to z kapelusza), pewnie ma jakieś wyjaśnienie albo trzeba coś fajnego zauważyć. Ale niestety ja nie widzę, zatem czekam może Lorek lub ktoś pokaże tę sztuczkę.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Oblicz granice

Post autor: Lorek » 6 sty 2009, o 18:59

Hospital?

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Oblicz granice

Post autor: Wasilewski » 6 sty 2009, o 21:59

Albo wzór na cosinus kąta podwojonego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} ln(cos(2x)) = ln(1-2sin^{2}x)^{ (\frac{1}{2sin^{2}x})^{\frac{2sin^{2}x}{x^2}}}}\)

Awatar użytkownika
Frey
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3296
Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 243 razy

Oblicz granice

Post autor: Frey » 6 sty 2009, o 22:31

aha ok rozumiem
Po prostu z d'H nie korzystam.

Ośka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 20 lis 2008, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno

Oblicz granice

Post autor: Ośka » 6 sty 2009, o 23:12

Wasilewski... wszystko byłby fajnie gdyby tak było jak napisałeś. Ale troszkę zmodyfikowałeś zadanie;)
Było taki\(\displaystyle{ \lim_{x \to0^+ } (ln cos2x)^{ \frac{1}{x^2}}\) a zrobiłeś takie \(\displaystyle{ \lim_{x \to0^+ } ln(cos2x)^{ \frac{1}{x^2}}\)
a ponad to ....

to wychodzi coś takiego\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} ln(cos(2x)) = ln(1-2sin^{2}x)^{ (\frac{1}{2sin^{2}x})^{\frac{2sin^{2}x}{x^2}}} ln(1-0)^{+ ^{ \frac{0}{0 }}\)

i w sumie wychodzi nie wiadomo co albo \(\displaystyle{ 0}\)

Logarytmując stronami powstaje dopiero coś takiego:

\(\displaystyle{ ln(f(x))= \frac{1}{x^2}ln(ln cos2x)}\)

doprowadzałem do postaci takiej

\(\displaystyle{ ln(f(x))= \frac{ln(ln cos2x)}{x^2}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \frac{?}{0}}\)

I dalej to już się gubię;)

Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Frey
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3296
Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 243 razy

Oblicz granice

Post autor: Frey » 6 sty 2009, o 23:31

Wasilewski pisze:Albo wzór na cosinus kąta podwojonego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} ln(cos(2x)) = ln(1-2sin^{2}x)^{ (\frac{1}{2sin^{2}x})^{\frac{2sin^{2}x}{x^2}}}}\)
To powinnaś wiedzieć:

\(\displaystyle{ \frac{2sin^{2}x}{x^2}} = \frac{2(sinx)(sinx)}{x*x}} 2*1=2}\)

Co reszty domyślam się że trik polega jakoś tak...

\(\displaystyle{ ln(1-2sin^{2}x)^{\frac{1}{2sin^{2}x}} = \frac{ln(1-2sin^{2}x)}{2sin^{2}x} -1}\)

(choć tego tak niezbyt jestem pewien):

\(\displaystyle{ -1*\frac{ln(1-2sin^{2}x)}{-2sin^{2}x} -1*1=-1}\)

ODPOWIEDZ