Trójkąt i dwusieczna

[mimicus90]

W trójkąt ABC dane są: \(\displaystyle{ | ACB|=120 ^{o} |AC|=6, |BC|=3}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\).
a)Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ CD}\).
b)Jaki jest związek między długościami promieni: okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ADC}\) i okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ DBC}\)? Odpowiedź uzasadnij.

Serdecznie dziękuję za pomoc!

[snm]

Z twierdzenia o dwusiecznej \(\displaystyle{ \frac{AD}{DB}= \frac{AC}{BC}}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{AD}{DB}=2}\).

Oznaczam \(\displaystyle{ BD=x}\) i \(\displaystyle{ AD=2x}\), zatem \(\displaystyle{ AB=3x}\)

Z twierdzenia cosinusów \(\displaystyle{ AC^{2}+BC^{2}-2*AC*BC*\cos 120=AB^{2}}\)

podstawiając otrzymujemy \(\displaystyle{ x=\sqrt{7}}\).

Żeby obliczyć CD, musimy policzyć z twierdzenia cosinusów \(\displaystyle{ CB^{2}+CD^{2}-2*CB*CD*\cos 60 = BD^{2} 9+CD^{2}-3*CD=7}\)

Stosunek długości promieni okręgów opisanych liczymy z twierdzenia sinusów. Dla trójkąta ACD mamy \(\displaystyle{ 2R= \frac{AD}{\cos ACD} = \frac{2\sqrt{7}}{ \frac{1}{2} }}\), dla trójkąta ACD \(\displaystyle{ 2r=\frac{\sqrt{7}}{ \frac{1}{2} }}\), więc nie trzeba nawet liczyć, bo stosunek widać od razu

[mimicus90]

czyli |CD| moze być 2 lub 1? bo tak mi wyszło z delty ??