Matematyka.pl

mam takie zadanie i nie umie go rozgryśc, głównie problem mam ze znalezieniem współczynników, prosze o pomoc

Na rysunku przedstawiono wykres pewnego wielomianu W stopnia trzeciego.
a) Czy wielomian W jest podzielny przez P(x) = x^{2} – x? Odpowiedź uzasadnij.
b) Napisz wzór wielomianu W i wyznacz jego współczynniki.
punkty są zaznaczone 3: (0;0) (1;0) i (2;4)

a)Wielomian w(x) (twoj, 3 stopnia) jest podzielny przez wielomian g(x)=x^2-x, bo
\(\displaystyle{ x^2-x=x(x-1)}\). A miejscami zerowymi naszego trojmianu sa wlasnie argumenty: \(\displaystyle{ x=0 x= 1}\)

b)w(x)=ax^3+bx^2+cx+d
\(\displaystyle{ \begin{cases} w(0)=d=0 \\ w(1)=a+b+c+d=0 a+b+c=0 \\ W(2)=8a+4b+2c=4 \end{cases}}\)

wychodzi \(\displaystyle{ 3a+b=2}\)

a możesz mi jeszcze wyjaśnić czemu znika nam parametr a i skąd wiemy, że wynosi on 1? bo resztę rozumnie, tyle w sumie sama wiedziałam

[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 12:33 ]
właśnie z tym jest problem, ze są tylko 3 punkty i nie wiem co dalej

tym sposobem nie wyjdzie, ale jest jeszcze inny, juz pisze

wielomian 3 sotpnia mozna zapisac w postaci iloczynowej, (mamy pierwiastki x=0 i x=1)
\(\displaystyle{ ax(x-1)(x-x_{3})=ax^3-a(x_{3}+1)x^2+x_{3}x}\)

teraz podstawiajac x=1 oraz x=2 otrzymamy uklad rownan z 2 tlyko niewiadomymi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a-a(x_{3}+1)+x_{3}=0 \\ 8a-4a(x_{3}+1)+2x_{3}=4 \end{cases}}\)

dzieki za pomoc, tylko gdybyś mógł mi jeszcze wytłumaczyć skąd dokładnie mamy pierwsze rownanie w postaci iloczynowiej. Wiem, ze troche jak tuman jestem ale wole to dobrze pojąć

\(\displaystyle{ w(x)=ax^3-a(x_{3}+1)x^2+x_{3}x}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} w(1)=a-a(x_{3}+1)+x_{3}=0 \\ w(2)=8a-4a(x_{3}+1)+2x_{3}=4 \end{cases}}\)

ale i tak jest to nie do wyliczenia, Wyjdzie ci to samo co w moim pierwszym poscie: \(\displaystyle{ 3a+b=2}\)

rozwiazaniem jest nieskonczenie wiele wielomianow stopnia 3-ciego, (podstaw sobie : a=1,b=2 lub a=2,b= -4)

tez robie ten zbiór zadan, z tym akurat poradzilem sobie w taki sposób

W(x)=a(x-x1)(x-x2)^2 bo w 1 jest podwójne miejsce zerowe
podstawic za x=2 y=4 i wychodzi a=2 i dalej z górki

w 1 jest podwójne miejsce zerowe

to wszystko wyjasnia...