Równanie wielomianowe z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
menus20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nie powiem
Podziękował: 23 razy

Równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: menus20 » 4 sty 2009, o 11:06

Dla jakich wartości parametru m równanie:
a) \(\displaystyle{ x^{4} + (m-3)x ^{2} + m ^{2}=0}\) ma cztery różne rozwiązania?
b) \(\displaystyle{ x ^{4} + 2(m-2)x ^{2} + m^{2} - 1=0}\) ma dwa różne pierwiastki?
c) \(\displaystyle{ x ^{4} + (1-2m)x^{2} + 2m^{2} + \frac{1}{4} = 0}\) nie ma rozwiązań?

Goter
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 22 lis 2008, o 18:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 85 razy

Równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: Goter » 4 sty 2009, o 11:12

a)

\(\displaystyle{ t = x^2\\
t^2+(m-3)t+m^2=0\\
\Delta = (m-3)^2-4m^2 = m^2-6m+9-4m^2 = -3m^2-6m+9\\}\)


Żeby wyjściowe równanie miało 4 rozwiązania, równanie z t musi mieć dwa różne pierwiastki dodatnie.

Teraz Delta>0 i ze wzorów Vieta (suma pierwiastków dodatnia, iloczyn pierwiastków dodatni):

\(\displaystyle{ \begin{cases}
-3m^2-6m+9>0 \Rightarrow m \in (-3,1)\\
\frac{-(m-3)}{1}>0 \Rightarrow -m+3>0 m < (-\infty,3)\\
\frac{m^2}{1}>0 m 0
\end{cases}}\)


Czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ m (-3,0) \cup (0,1)}\)

menus20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nie powiem
Podziękował: 23 razy

Równanie wielomianowe z parametrem

Post autor: menus20 » 4 sty 2009, o 13:37

skoro suma pierwiastków to \(\displaystyle{ -m + 3}\) to jak ich iloczyn może wynosić
\(\displaystyle{ m ^ {2}}\)????

[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 13:46 ]
ok już rozumiem

ODPOWIEDZ