[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
kubek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Syberia
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

Post autor: kubek1 » 3 sty 2009, o 22:50

Wykaż, że wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=1+x+x^2+x^3+...+x^{2n}}\), gdzie n jest liczbą naturalną, nie posiada pierwiastków rzeczywistych.

Tomek_Z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 807
Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 181 razy

[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

Post autor: Tomek_Z » 3 sty 2009, o 22:56

Wyrazy tego wielomianu tworzą szereg geometryczny dla \(\displaystyle{ x (-1;1)}\), którego suma wynosi \(\displaystyle{ S = \frac{1}{1-x}}\), czyli \(\displaystyle{ W(x) = \frac{1}{1-x}}\). Licznik nigdy nie będzie zerem, zatem wielomian faktycznie nie ma pierwiastków.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

Post autor: Wasilewski » 3 sty 2009, o 23:27

Ale to jest skończona suma. Można na przykład zauważyć, że gdy x nie jest równy 1, to:
\(\displaystyle{ W(x) = \frac{x^{2n+1} - 1}{x-1}}\)
Zatem pierwiastki tego wielomianu to pierwiastki algebraiczne stopnia 2n+1 z jedynki, oprócz samej jedynki. A one nie są rzeczywiste, bo mają postać:
\(\displaystyle{ x_{k} = cos \frac{2k\pi}{2n+1} + i sin (\frac{2k\pi}{2n+1}), dla \ k \{1,2, \ldots, 2n\}}\)
Czyli argument sinusa nie jest postaci \(\displaystyle{ k\pi}\).
Ostatnio zmieniony 3 sty 2009, o 23:29 przez Wasilewski, łącznie zmieniany 1 raz.

kubek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Syberia
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

Post autor: kubek1 » 3 sty 2009, o 23:28

Nie o to chodziło w tym zadaniu. Wielomian ten nie jest sumą nieskończoną, tylko skończoną, bo jest stopnia 2n

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

Post autor: Sylwek » 3 sty 2009, o 23:28

Blisko, ale to nie jest nieskończony szereg geometryczny, tylko ciąg geometryczny. Wystarczy sprawdzić x=1, a dla pozostałych zwinąć w:

\(\displaystyle{ \frac{1-x^{2n+1}}{1-x}}\)
Wasilewski pisze:Zatem pierwiastki tego wielomianu to pierwiastki algebraiczne stopnia 2n+1 z jedynki, oprócz samej jedynki. A one nie są rzeczywiste, bo mają postać


Ja bym przyrównał licznik do zera - po wyciągnięciu pierwiastka stopnia \(\displaystyle{ 2n+1}\) wyszłoby, że x=1, ale nie spełnia on założenia, że x jest różny od 1

No i troszkę się spóźniłem poza tym.

kubek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Syberia
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

Post autor: kubek1 » 3 sty 2009, o 23:31

Dzięki wszyscy jakoś tu piszą w jednym momencie

[ Dodano: 3 Stycznia 2009, 23:36 ]
Mam jeszcze jedno pytanie:
A jak tu uzasadnić, że nierówność \(\displaystyle{ W(x)>0}\) jest spełniona dla x rzeczywistych?

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

Post autor: Sylwek » 3 sty 2009, o 23:40

Wykaż, że licznik i mianownik wyrażenia: \(\displaystyle{ \frac{1-x^{2n+1}}{1-x}}\) zawsze mają te same znaki. Został przypadek x=1, ale on nie jest ciężki ^^

kubek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Syberia
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

Post autor: kubek1 » 3 sty 2009, o 23:53

Jeszcze raz wielkie dzięki

ODPOWIEDZ