Transformata Fouriera funkcji cosinus

[Karister]

Witam Wszystkich,

Potrzebuję pomocy w wyliczeniu transformaty Fouriera funkcji cosinus.

Do tej pory na zajęciach robiliśmy przykłady, w których funkcja okresowa była ograniczona jakimś przedziałem [a; b] (dokładniej, w reszcie dziedziny wynosiła 0) i po podstawieniu jej do wzoru:

\(\displaystyle{ F(\omega) = \int\limits_{a}^{b} f(t) e^{-i \omega t} dt}\)

wszystko ładnie wychodziło.

Tym razem funkcja jest określona na przedziale liczb rzeczywistych i ten wzór traci sens. Nie będę przecież podstawiał nieskończoności do sinusa. Czasem stosowaliśmy wzory Eulera do rozpisania cosinusa, ale to też nie zdaje egzaminu, bo wychodzi nieoznaczoność po scałkowaniu.

Prowadzący wspomniał coś o delcie Diraca i liczeniu "jakby w granicy". Niestety nie podał żadnych konkretów, a ja o wspomnianej delcie nigdy nie słyszałem (tzn. definicję wyszukać potrafię, ale sucha wiedza bez doświadczenia wiele mi nie pomaga).

Funkcja z zadania wygląda dokładnie tak:

\(\displaystyle{ f(x) = \cos (\omega_{0} t)}\)

W Internecie znalazłem tablicę różnych funkcji i ich transformat. Wg niej wynik powinien być następujący:

\(\displaystyle{ \pi [\delta (\omega - \omega_{0}) + \delta (\omega + \omega_{0}) ]}\)

Mógłby ktoś krok po kroku pokazać, jak to zrobić oraz przedstawić w jakiś user-friendly sposób teorię niezbędną do tego zadania? Chodzi mi głównie o tą deltę Diraca, bo samą transformatę rozumiem.

Pozdrawiam.

P.S.
pierwsze zetknięcie z Latex'em. Jeśli coś się wykrzaczyło, właśnie to poprawiam.

Edit: Ok, wszystko jest w porządku.

[soku11]

A nie wystarczy wprost z definicji liczb zespolonych, tj:
\(\displaystyle{ f(t)=\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{i(\omega_0 t)}+e^{-i(\omega_0 t)}}{2}=
\frac{1}{2} e^{i(\omega_0 t)}+\frac{1}{2}e^{-i(\omega_0 t)}}\)

??

Nie ma zbytnio sensu tego calkowac A za a i b bierzesz jeden okres funkcji cosinus Pozdrawiam.

[Karister]

No raczej nie wystarczy.

To jest właśnie wzorek Eulera, o którym wspominałem. Po prostu w inny sposób zapisałeś funkcję f(x), a tutaj trzeba policzyć jej transformatę Fouriera. Żeby to zrobić, jest wzór, w którym całka występuje, więc całkować trzeba. A problem właśnie w tym, że z powodu niefajnego przedziału całkowania nie wychodzi łatwo konkretny wynik. Podobno z pomocą przychodzi właśnie delta Diraca, ale nie są mi znane szczegóły. ;( Pewnie jakiś trik.

Ktokolwiek słyszał, ktokolwiek wie?

[luka52]

Z def. delta Diraca to \(\displaystyle{ 2 \pi \delta (\omega) = t_{-\infty}^{+\infty} e^{- i \omega t} \; \mbox d t}\).
Dalej to już zwykłe zastosowanie poznanej wiedzy, gdyż:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- i (\omega \omega_0) t} \; \mbox d t = 2 \pi \delta (\omega \omega_0)}\).
Co wystarcza by wyprowadzić podany przez Ciebie wzór.

[Karister]

Z def. delta Diraca to \(\displaystyle{ 2 \pi \delta (\omega) = t_{-\infty}^{+\infty} e^{- i \omega t} \; \mbox d t}\).

A ja ciągle trafiałem na inną definicję i stąd był problem. Teraz poszło bez problemu. Wielkie dzięki.

[dziabong]

Z def. delta Diraca to \(\displaystyle{ 2 \pi \delta (\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- i \omega t} \; \mbox d t}\).

Może mi ktoś powiedzieć jak dojść do czegoś takiego z definicji delty Diraca?

[luka52]

dziabong, skoro

\(\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ \delta (t) \right] (\omega ) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) e^{- i\omega t} \; \mbox d t = 1}\),

to

\(\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1} \left[ 1 \right] (t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega t} \; \mbox d \omega = \delta (t)}\)

zatem

\(\displaystyle{ 2 \pi \delta (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega t} \; \mbox d \omega = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i \omega t} \; \mbox d \omega}\)