Transformata Fouriera funkcji cosinus

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Karister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 sty 2009, o 12:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa/Wrocław
Podziękował: 1 raz

Transformata Fouriera funkcji cosinus

Post autor: Karister » 3 sty 2009, o 16:10

Witam Wszystkich,

Potrzebuję pomocy w wyliczeniu transformaty Fouriera funkcji cosinus.

Do tej pory na zajęciach robiliśmy przykłady, w których funkcja okresowa była ograniczona jakimś przedziałem [a; b] (dokładniej, w reszcie dziedziny wynosiła 0) i po podstawieniu jej do wzoru:

\(\displaystyle{ F(\omega) = \int\limits_{a}^{b} f(t) e^{-i \omega t} dt}\)

wszystko ładnie wychodziło.

Tym razem funkcja jest określona na przedziale liczb rzeczywistych i ten wzór traci sens. Nie będę przecież podstawiał nieskończoności do sinusa. Czasem stosowaliśmy wzory Eulera do rozpisania cosinusa, ale to też nie zdaje egzaminu, bo wychodzi nieoznaczoność po scałkowaniu.

Prowadzący wspomniał coś o delcie Diraca i liczeniu "jakby w granicy". Niestety nie podał żadnych konkretów, a ja o wspomnianej delcie nigdy nie słyszałem (tzn. definicję wyszukać potrafię, ale sucha wiedza bez doświadczenia wiele mi nie pomaga).

Funkcja z zadania wygląda dokładnie tak:

\(\displaystyle{ f(x) = \cos (\omega_{0} t)}\)

W Internecie znalazłem tablicę różnych funkcji i ich transformat. Wg niej wynik powinien być następujący:

\(\displaystyle{ \pi [\delta (\omega - \omega_{0}) + \delta (\omega + \omega_{0}) ]}\)

Mógłby ktoś krok po kroku pokazać, jak to zrobić oraz przedstawić w jakiś user-friendly sposób teorię niezbędną do tego zadania? Chodzi mi głównie o tą deltę Diraca, bo samą transformatę rozumiem.

Pozdrawiam.

P.S.
pierwsze zetknięcie z Latex'em. Jeśli coś się wykrzaczyło, właśnie to poprawiam. ;)

Edit: Ok, wszystko jest w porządku.
Ostatnio zmieniony 3 sty 2009, o 16:17 przez Karister, łącznie zmieniany 2 razy.

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Transformata Fouriera funkcji cosinus

Post autor: soku11 » 3 sty 2009, o 16:14

A nie wystarczy wprost z definicji liczb zespolonych, tj:
\(\displaystyle{ f(t)=\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{i(\omega_0 t)}+e^{-i(\omega_0 t)}}{2}=
\frac{1}{2} e^{i(\omega_0 t)}+\frac{1}{2}e^{-i(\omega_0 t)}}\)


??

Nie ma zbytnio sensu tego calkowac A za a i b bierzesz jeden okres funkcji cosinus Pozdrawiam.

Karister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 sty 2009, o 12:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa/Wrocław
Podziękował: 1 raz

Transformata Fouriera funkcji cosinus

Post autor: Karister » 3 sty 2009, o 17:41

No raczej nie wystarczy.

To jest właśnie wzorek Eulera, o którym wspominałem. Po prostu w inny sposób zapisałeś funkcję f(x), a tutaj trzeba policzyć jej transformatę Fouriera. Żeby to zrobić, jest wzór, w którym całka występuje, więc całkować trzeba. A problem właśnie w tym, że z powodu niefajnego przedziału całkowania nie wychodzi łatwo konkretny wynik. Podobno z pomocą przychodzi właśnie delta Diraca, ale nie są mi znane szczegóły. ;( Pewnie jakiś trik.

Ktokolwiek słyszał, ktokolwiek wie?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Transformata Fouriera funkcji cosinus

Post autor: luka52 » 3 sty 2009, o 18:39

Z def. delta Diraca to \(\displaystyle{ 2 \pi \delta (\omega) = t_{-\infty}^{+\infty} e^{- i \omega t} \; \mbox d t}\).
Dalej to już zwykłe zastosowanie poznanej wiedzy, gdyż:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- i (\omega \omega_0) t} \; \mbox d t = 2 \pi \delta (\omega \omega_0)}\).
Co wystarcza by wyprowadzić podany przez Ciebie wzór.

Karister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 sty 2009, o 12:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa/Wrocław
Podziękował: 1 raz

Transformata Fouriera funkcji cosinus

Post autor: Karister » 3 sty 2009, o 22:53

luka52 pisze:Z def. delta Diraca to \(\displaystyle{ 2 \pi \delta (\omega) = t_{-\infty}^{+\infty} e^{- i \omega t} \; \mbox d t}\).
A ja ciągle trafiałem na inną definicję i stąd był problem. Teraz poszło bez problemu. Wielkie dzięki.

dziabong
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 18 paź 2011, o 12:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 5 razy

Transformata Fouriera funkcji cosinus

Post autor: dziabong » 4 sty 2012, o 02:33

luka52 pisze:Z def. delta Diraca to \(\displaystyle{ 2 \pi \delta (\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- i \omega t} \; \mbox d t}\).
Może mi ktoś powiedzieć jak dojść do czegoś takiego z definicji delty Diraca?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Transformata Fouriera funkcji cosinus

Post autor: luka52 » 4 sty 2012, o 14:19

dziabong, skoro
\(\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ \delta (t) \right] (\omega ) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) e^{- i\omega t} \; \mbox d t = 1}\),
to
\(\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1} \left[ 1 \right] (t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega t} \; \mbox d \omega = \delta (t)}\)
zatem
\(\displaystyle{ 2 \pi \delta (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega t} \; \mbox d \omega = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i \omega t} \; \mbox d \omega}\)

ODPOWIEDZ