całka z exp (metodą residuuów?)

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
alutka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 gru 2008, o 21:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

całka z exp (metodą residuuów?)

Post autor: alutka » 3 sty 2009, o 15:22

Witam. Mam problem z rozwiązaniem takiej całki:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2 \pi} t_{- }^{ } \frac{e^{-ikx}}{(1-ik)} dk}\)

Jest to wzór na transformatę odwrotną Fouriera ze wstawioną już funkcją.
Wydaje mi się, że powinno to zostać rozwiązane za pomocą residuów. Rozwiązując tą całkę w ten sposób dostaję takie wyniki:
dla x0: \(\displaystyle{ f(x) = -e^{-x}}\)

Proszę o sprawdzenie czy są one prawidłowe.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka z exp (metodą residuuów?)

Post autor: luka52 » 3 sty 2009, o 17:16

A jaka to funkcja ulega tej transformacji (pytam ze względu na ten minus w wykładniku)

Awatar użytkownika
alutka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 gru 2008, o 21:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

całka z exp (metodą residuuów?)

Post autor: alutka » 3 sty 2009, o 17:23

\(\displaystyle{ f(k)= \frac{1}{1-ik}}\)

Exp z minusem w wykładniku jest stałą częścią transformaty odwrotnej (tak nas uczą). Bez minusa jest przy normalnej transformacie.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka z exp (metodą residuuów?)

Post autor: luka52 » 3 sty 2009, o 18:23

To dziwne; :arrow: http://pl.wikipedia.org/wiki/Transformacja_Fouriera

A całki typu właśnie jak zaprezentowany przez Ciebie przykład oblicza się korzystając z lematu Jordana. Zakładając, że ta całka powinna wyglądać tak
\(\displaystyle{ I \; = \; \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{kix}}{1-ik} \; \mbox d k}\)
(bo naprawdę, ale z minusem przy liczeniu transformaty odwrotnej się niespotkałem)
Ponieważ funkcja podcałkowa ma biegun poniżej osi \(\displaystyle{ \mbox{re} \, k}\), podstawimy \(\displaystyle{ k = -y}\) oraz \(\displaystyle{ x = -x}\).
\(\displaystyle{ I \; = \; \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{yix}}{1+iy} \; \mbox d y}\)
na mocy wspomnianego lematu jest
\(\displaystyle{ I = 2 \pi i \; \mbox{res}_{y = i} \left\{ \frac{e^{yix}}{1+iy} \right\} = 2 \pi e^{-x}, \quad x > 0}\)

Awatar użytkownika
alutka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 gru 2008, o 21:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

całka z exp (metodą residuuów?)

Post autor: alutka » 3 sty 2009, o 18:35

No tak, ale przy k=-y automatycznie pojawia się minus przed całością, prawda? (dk = -dy)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka z exp (metodą residuuów?)

Post autor: luka52 » 3 sty 2009, o 18:42

Tak, ale też się zmieniają granice całkowania : \(\displaystyle{ -\int_{+\infty}^{-\infty} = + t_{-\infty}^{+\infty}}\).

Awatar użytkownika
alutka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 gru 2008, o 21:43
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

całka z exp (metodą residuuów?)

Post autor: alutka » 3 sty 2009, o 18:47

Tak szczerze, to nie łapię tego ostatniego, co to ma do rzeczy, skoro całkowanie i tak było od \(\displaystyle{ - }\) do \(\displaystyle{ + }\). Można nie zmieniać tych granic na odwrotne i zostawić minus przy wyniku? Tak jak mi wyszło w rozwiązaniu?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka z exp (metodą residuuów?)

Post autor: luka52 » 3 sty 2009, o 19:50

Po zamianie zmiennej \(\displaystyle{ k = -y}\) dolna granica całkowania (już po \(\displaystyle{ y}\)) to \(\displaystyle{ +\infty}\). A skoro przy wyznaczaniu różniczek, pojawi się minus (tj. \(\displaystyle{ \mbox d k = - \mbox d y}\)), to można go "użyć", by przywrócić granice całkowania do porządku - od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ +\infty}\).

Poza tym, zauważ, że dla \(\displaystyle{ x > 0}\) całka:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ixk}}{1 - ik} \; \mbox dk \; = \; 0}\)
gdyż całkując po górnym półokręgu (wiadomo jakim?) jedyny punkt osobliwy f. podcałkowej znajduje się poza konturem.

Dla \(\displaystyle{ x < 0}\) (jak już wcześniej pisałem) stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ k = -y}\):

\(\displaystyle{ \int_{+\infty}^{-\infty} \frac{e^{-ixy}}{1 + iy} \; (-1) \, \mbox d y = t_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-ixy}}{1 + iy} \; \mbox d y = 2 \pi e^x}\)

Ostatecznie
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \begin{array}{rcl} e^x & \mbox{dla} & x < 0\\ 0 & \mbox{dla} & x > 0\end{array}\end{cases}}\)

ODPOWIEDZ