[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Desmondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 8 lis 2006, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jagodnik
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 6 razy

[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Post autor: Desmondo » 3 sty 2009, o 14:45

Rozwiąż w zbiorze liczb naturalnych równanie \(\displaystyle{ 19x^{2}-84y^{2}=1984}\).
Przekształciłem to do postaci: \(\displaystyle{ 84(y^{2}+1)=19(x^{2}-100)}\)
Co dalej nie wiem. W podpowiedziach pisze, że należy wykazać, że prawa strona równości nie może być podzielna przez 7. Jednak wychodzi mi, że jeśli x daje resztę z dzielenia przez 7 równą 3 lub 4, to prawa strona równości będzie podzielna przez 4.
Zadanie pochodzi z "Przygotowań do olimpiad matematycznych" Musztari'ego.
Edit: w odpowiedziach pisze, że równanie nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Post autor: Dumel » 3 sty 2009, o 16:27

zapomniales dopisac: \(\displaystyle{ =1984}\)
zrobilem to pare tygodni temu, o ile pamietam nie bylo zbyt trudne
x musi byc liczbą parzystą - podstawiasz \(\displaystyle{ x=2x_1}\)
potem dostajesz ze liczby \(\displaystyle{ x_1,y}\) są tej samej parzystosci. Przypadek w ktorym obie sa nieparzyste odrzucasz (sprawdz reszty z dzielenia przez 8), wykonujesz kolejne podstawienie, i z nowym rownaniem robisz to samo.
otrzymujesz
\(\displaystyle{ 19x_3^2-21y_2^2=31}\)
teraz sprawdzalem reszty z dzielenia kwadratow liczb naturalnych przez coś tam, nie chce mi sie teraz kombinowac przez co (moze przez 7 tak jak w podpowiedzi). mysle ze sobie juz poradzisz

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Post autor: max » 3 sty 2009, o 16:54

SebastianŁ pisze:\(\displaystyle{ 84(y^{2}+1)=19(x^{2}-100)}\)
Co dalej nie wiem. W podpowiedziach pisze, że należy wykazać, że prawa strona równości nie może być podzielna przez 7. Jednak wychodzi mi, że jeśli x daje resztę z dzielenia przez 7 równą 3 lub 4, to prawa strona równości będzie podzielna przez 4.
Dla odmiany można na palcach policzyć, że nie istnieje \(\displaystyle{ y}\) takie, że \(\displaystyle{ y^{2}\equiv - 1\pmod{19}}\) (ogólnie dla liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) nie istnieje takie \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ a^{2}\equiv -1\pmod{p}}\), co wynika np z kryterium Eulera z teorii reszt kwadratowych).

Awatar użytkownika
Desmondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 8 lis 2006, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jagodnik
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 6 razy

[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Post autor: Desmondo » 3 sty 2009, o 17:11

zapomniales dopisac: =1984
Rzeczywiście, cóż za gafa.
Dzięki za pomoc, popróbuję jeszcze to ugryźć z tej strony. Swoją drogą szkoda, że ten zbiór nie ma rozwiązań, bo przy samodzielnej pracy często są niezbędne.

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Post autor: smigol » 3 sty 2009, o 17:32

SebastianŁ pisze:
zapomniales dopisac: =1984
Rzeczywiście, cóż za gafa.
Dzięki za pomoc, popróbuję jeszcze to ugryźć z tej strony. Swoją drogą szkoda, że ten zbiór nie ma rozwiązań, bo przy samodzielnej pracy często są niezbędne.
Moje wydanie ma podpowiedzi do większości zadań, rozwiązania do większości trudniejszych zadań i odpowiedzi do chyba wszystkich

Awatar użytkownika
Desmondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 8 lis 2006, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jagodnik
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 6 razy

[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Post autor: Desmondo » 3 sty 2009, o 22:07

Doszedłem z tym równaniem do postaci \(\displaystyle{ 19x_3^2-21y_2^2=31}\), ale dalej nie mogę w żaden sposób sprowadzić do sprzeczności sprawdzając reszty z dzielenia... Może gdzieś popełniłem błąd, albo źle zrozumiałem Twoje rozwiązanie... Sam nie wiem, już zawrotu głowy dostaję od tego zadania.

snm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 468
Rejestracja: 10 mar 2007, o 12:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inąd
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 54 razy

[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Post autor: snm » 3 sty 2009, o 23:12

Spróbuj mod 19. Do sprawdzenia całkiem niewiele, bo tylko do 9^2, gdyż już 10^2 przystaje do (-9)^2, czyli do 9^2

Awatar użytkownika
Desmondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 8 lis 2006, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jagodnik
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 6 razy

[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Post autor: Desmondo » 4 sty 2009, o 11:15

Z 19 chyba poszło. Piszę, że chyba, bo nigdy wcześniej nie posługiwałem się kongruencjami z liczbami ujemnymi. Dlatego proszę jeszcze tylko o sprawdzenie poprawności tych obliczeń:
\(\displaystyle{ 31\equiv 12\equiv -7 \ (mod \ 19)}\)
\(\displaystyle{ -21\equiv -2 \ (mod \ 19)}\)
Dla \(\displaystyle{ y_2 \equiv 1 \ (mod \ 19)}\)
\(\displaystyle{ -21y_2^2 \equiv -2 1^2 \equiv -2 \ (mod \ 19)}\)

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Teoria liczb] Równanie w liczbach naturalnych (Musztari)

Post autor: Dumel » 4 sty 2009, o 13:03

prawidłowo

ODPOWIEDZ