liczba 5-cyfrowa ze zbiory 8-elementowego

[Marta99]

Ze zbioru cyfr {0,1,2,3,4,5,6,7} tworzymy liczby pięciocyfrowe. Ile jest takich liczb, w których
a) cyfry nie mogą się powtarzać
b) cyfry 2 i 5 występują dwa razy
c) cyfra 2 występuje co najmniej dw razy i cyfra 5 występuje dwa razy.

Punkt a) zrobiła \(\displaystyle{ V^5_8-V^4_7 =5880}\)

ale pozostałe nie wychodzą robie :
b) np. 2 2 5 5 _
5 2 2 5 _
_ 2 5 2 5
"0" 5 5 22

możliwości wyboru cyfry "_" \(\displaystyle{ 6*V_6^1}\)
*6 - możliwości ustawienia cyfry"_" na pierszwszym, drugim, trzecim, czwartym, piątym lub szóstym miejscu

"0" 2 2 5 5
"0" 5 5 2 2\(\displaystyle{ P_4^{2,2} =6}\) - możliwości z zerem na początku

\(\displaystyle{ P_4^{2,2} =6}\) - możliwości zmiany między sobą cyfr 2,2,5,5

Łącznie \(\displaystyle{ 6*V_6^1*P_4^{2,2}-P_4^{2,2}=210}\) w odp. 179 :/

c) też nie wychodzi odp.189

bardzo proszę o pomoc

[kolosek]

b)
2 ma występować dokładnie 2 razy, czyli jest \(\displaystyle{ {5 \choose 2} = 10}\) możliwości
analogicznie 5, czyli \(\displaystyle{ {3 \choose 2} = 3}\) możliwości
następnie uzupełniamy liczbę dowolną cyfrą z pozostałych 6, czyli 6 możliwości
na samym końcu będziemy musieli odjąć 1, gdyż nie może być rozwiązanie z 0 na początku

Odp. \(\displaystyle{ {5 \choose 2}{3 \choose 2}*6 - 1 = 179}\)

c)
należy rozpatrzyć 2 przypadki;
\(\displaystyle{ 1^{o}}\) 2 i 5 występują 2 razy, czyli przykład b) - 179 możliwości
\(\displaystyle{ 2^{o}}\) 2 występuje 3 razy, a 5 występuje 2 razy
\(\displaystyle{ {5 \choose 3}{2 \choose 2} = 10}\)

Odp. \(\displaystyle{ 179 + 10 = 189}\)

[Marta99]

Mam tylko jedna pytanie skąd od razu wiedziałeś że trzeba skozystać z kombinacji a tym samym że kolejność nie ma znaczenia ??

[Mortify]

a dlaczego tylko 1 odejmujemy ? przecież liczb z cyfrą 0 na początku może być 6, a nie tylko jedna.
Przychyliłbym sie do rozwiązania Marty, z tymże tam jest tylko mały błąd, bo miejsce możemy na 5 sposobów wybrać a nie na 6. Ja otrzymałem wynik 174, tak samo jak mój kolega.. Z jakiego to zbioru ?

a co do kombinacji to chyba nie ma równicy w zapisie np liczby 25742 i zamienimy dwojki miejscami : 25742. dlatego kolejność nie ma znaczenia.

[Kartezjusz]

a)Tworzymy liczbę
1. Liczba zaczyna się cyfrą ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7}-7sp
2.Drugą cyfrę wybieramy ze zbioru dużego tyle ,że usuwamy wykorzystaną cyfrę 7
n.n-tą cyfrę wybieramy ze zbioru z punktu n-1,tyle,że usuwamy usuniętą w nim liczbę 7-n+1
Tak robimy,aż do piątego kroku
Odp:\(\displaystyle{ 7 \cdot 7 \cdot 6\cdot 5 \cdot 4 =5880}\)
b)Rozpatrzmy 2 wypadki
1. Na początku 2 albo 5-2
2.szukamy jednego miejsca dla cyfry,która została tylko jedna-4
3.dwa miejsca z trzech obsadzamy niewykorzystaną cyfrą w poprzednim punkcie.3
4.ostatnie miejsce zostawiamy dla liczby ze zbioru {0,1,3,4,6,7}
Liczba sposobów\(\displaystyle{ 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6=144}\)
2.Na początku jest inna liczba niż 2 i 5
1.Wybieramy pierwszą cyfrę ze zbioru {1,3,4,6,7}
2.Wybieramy 2 z 4 miejsc dla dwójek \(\displaystyle{ {4 \choose 2}=6}\)
3.pozostałe są dla piątek.
Liczba sposobów:\(\displaystyle{ 5 \cdot 6=30}\)
W sumie mamy 174 sposoby.
c)Przypadek b)+ liczby mające tylko 3 dwójki i 2 piątki.
A takich liczb jest\(\displaystyle{ {5 \choose 2}=10}\)(Różnią się tylko rozmieszczeniem.)W sumie sposobów jest 184.