Matematyka.pl

Niech wektory u, v, w, będą liniowo niezależne w V. Zbadaj z definicji liniową niezależność.

a)

\(\displaystyle{ \lbrace u+v , v+w , u+w \rbrace}\)

b)

\(\displaystyle{ \lbrace u-2v, v-2w , 3w \rbrace}\)

Za pomoc z góry dziękuję .

Ad a)
Załóżmy, że dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest:
\(\displaystyle{ a(u+v) +b(v+w) +c (u+w) = 0}\)
Ta równość to tyle samo co:
\(\displaystyle{ (a+c)u+(a+b)v+ (b+c)w=0}\)
to zaś z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ u,v,w}\) oznacza, że:
\(\displaystyle{ a+c=a+b=b+c=0}\)
czyli \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)
Stąd zaś już wniosek, że wyjściowe wektory są liniowo niezależne (bo jak pokazaliśmy, ich liniowa kombinacja daje wektor zerowy tylko, gdy wszystkie współczynniki kombinacji są zerami).

Drugi podpunkt analogicznie.

Q.

analogicznie jednak mam problemy

\(\displaystyle{ a(u-2v)+b(v-2w)+c(3w)=0}\)

\(\displaystyle{ (a+b)v+(b+c)w+(a+c)=0}\) ?? chyba nie tak...

Nie wiem skąd wziąłeś tę drugą równość - trzeba przecież przekształcić tę pierwszą:
\(\displaystyle{ au+(b-2a)v+(3c-2b)w=0}\)

Q.