Udowodnić ograniczenie z góry ciągu e(n) przez 3.

[Kali]

Znalazłem następujące rozwiązanie, ale nie wszystkie działania są dla mnie zrozumiałe.

Nie rozumiem skąd się wziął następujący warunek:
\(\displaystyle{ \forall k\in\{2,3\ldots n\}:\frac{1}{k!}}\)

[miodzio1988]

Nie rozumiem skąd się wziął następujący warunek:
\(\displaystyle{ \forall k\in\{2,3\ldots n\}:\frac{1}{k!}}\)

[Kali]

Ale w jaki sposób z tego wyższego zapisu, wykorzystując tę nierówność powstał ten drugi niezrozumiały przeze mnie zapis. Dokładnie jakim przekształceniom uległ wcześniejszy zapis?

[max]

Do udowodnienia drugiej z wypisanych przez Ciebie nierówności zostały użyte szacowania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n!} qslant \frac{1}{2^{n-1}}}\) (no bo \(\displaystyle{ \frac{1}{l} qslant \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ l\in \{2, \ldots, n\}}\))
oraz
\(\displaystyle{ \frac{n(n-1)\ldots(n-(k-1))}{n^k}< 1}\)
(no bo \(\displaystyle{ \frac{n - l}{n} < 1}\) dla \(\displaystyle{ l \{1, \ldots, k\},\ k qslant n}\))
co zresztą jest zaznaczone w dowodzie.