Matematyka.pl

\(\displaystyle{ A= \left\{ \frac{\sin{x} + x + \lfloor x \rfloor}{x} ,\; x\in (0,2) \right\}}\)

wyznaczyć supremum

sprawdz czy ten zbior jest ograniczony:D

nie wiem wogóle jak się za to zabrać

na pierwszy rzut oka ten zbior wydaje sie byc nieograniczony(spojrz sie jak sie ten mianownik zachowuje dla liczb z przedzialu (0, 1) . a skoro ten zbior jest nieograniczony to znaczy ze jego supremum nie istnieje . (sprobuj narysowac wykres albo inaczej udowodnic nieograniczonosc)

ten zbiór na pewno jest ograniczony, najłatwiej chyba by było wyznaczyc ograniczenia i ewetnualnie jakos zrobic cos w rodzaju dowodu że tak jest
\(\displaystyle{ 0<A<2}\)

piszesz że
\(\displaystyle{ 2< \frac{\sin x + x + \left[ x\right] }{x}}\)

i dalej jakies obliczenia ale powinno byc wg mnie \(\displaystyle{ \sup A=2}\)

wez \(\displaystyle{ x= \frac{1}{100}}\). i co?:D

\(\displaystyle{ \frac{\sin{x} + x + \lfloor x \rfloor}{x} =
\frac{\sin{x}}{x} + 1 + \frac{\lfloor x \rfloor}{x}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ \frac{\sin{x}}{x}}\) jest w danym przedziale malejąca, natomiast funkcja: \(\displaystyle{ \frac{\lfloor x \rfloor}{x}}\) jest równa zero w \(\displaystyle{ (0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) w \(\displaystyle{ [1,2)}\) (w tym drugim jest więc też malejąca). Stąd wniosek, że w każdym z tych dwóch przedziałów funkcja jest malejąca (w jedynce jest nieciągły skok). Wystarczy więc sprawdzić ile jest równa prawostronna granica w zerze (wyjdzie \(\displaystyle{ 2}\)) oraz wartość w jedynce (wyjdzie \(\displaystyle{ 2+\sin{1}}\)) - większa z tych liczb jest naszym supremum, zatem \(\displaystyle{ \sup A = 2+\sin{1}}\).

Q.