całka z funkcja wykładnicza

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
asia1010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 18 lis 2008, o 13:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mysłowice
Podziękował: 12 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: asia1010 » 2 sty 2009, o 13:16

Jak poradzić sobie z taką całką?
\(\displaystyle{ \int \frac{2^{3x}+2^{x}}{2^{x}+1}}\)
Ostatnio zmieniony 2 sty 2009, o 19:23 przez asia1010, łącznie zmieniany 1 raz.

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: lukasz1804 » 2 sty 2009, o 13:31

Mamy \(\displaystyle{ \int\frac{2^{3x}+2^x}{2^x+1}dx=\int\frac{2^{3x}+2^{2x}-2^{2x}-2^x+2\cdot 2^x}{2^x+1}dx=\int 2^{2x}dx-\int 2^xdx+\int\frac{2^{x+1}}{2^x+1}dx=\frac{4^x}{\ln 4}-\frac{2^x}{\ln 2}+2\int\frac{2^x}{2^x+1}dx=\frac{2^{2x-1}}{\ln 2}-\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{2}{\ln 2}\ln(2^x+1)+C}\)

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: mat1989 » 2 sty 2009, o 13:45

lukasz1804, a ja przeszedłeś z tego ilorazu do różnicy? bo dalej nie widze:(

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: lukasz1804 » 2 sty 2009, o 13:50

\(\displaystyle{ 2^{3x}+2^x=2^{3x}+2^{2x}-2^{2x}-2^x+2\cdot 2^x=2^{2x}(2^x+1)-2^x(2^x+1)+2^{x+1}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: luka52 » 2 sty 2009, o 13:52

mat1989, możesz też po prostu podstawić \(\displaystyle{ t = 2^x}\) - otrzymasz całkę funkcji wymiernej (a to już chyba nie problem?).

asia1010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 18 lis 2008, o 13:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mysłowice
Podziękował: 12 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: asia1010 » 2 sty 2009, o 13:59

A czy mógłbyś jeszcze wytłumaczyć jak policzyłeś tą ostatnią całkę?

suervan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lis 2008, o 01:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp/Poznan
Pomógł: 8 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: suervan » 2 sty 2009, o 15:23

dodajac 1 i odejmujac 1 w liczniku otrzymasz

\(\displaystyle{ 2 t dx - t \frac{1}{2 ^{x} +1}dx}\) co nie stanowi juz chyba problemu... ( ? )

asia1010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 18 lis 2008, o 13:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mysłowice
Podziękował: 12 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: asia1010 » 2 sty 2009, o 16:24

no szczerze, to stanowi. Bo z tej pierwszej całki przecież wyjdzie 2x a nie ma tego nigdzie w rozwiązaniu. No i jeszcze jak policzyć tą drugą?[/latex]

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: soku11 » 2 sty 2009, o 16:45

No bo nie tak sie to rozwiazuje
\(\displaystyle{ \int \frac{2^x}{2^x+1}\mbox{d}x=\left\{\begin{array}{c}
2^x=t\\
2^x\ln 2\mbox{d}x=\mbox{d}t\\
2^x\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{\ln 2}
\end{array}\right\}=
\frac{1}{\ln 2} t \frac{\mbox{d}t}{t+1}=
\frac{\ln|t+1|}{\ln 2}+C=
\frac{\ln|2^x+1|}{\ln 2}+C=
\frac{\ln(2^x+1)}{\ln 2}+C}\)


Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 2 sty 2009, o 18:24 przez soku11, łącznie zmieniany 1 raz.

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: mat1989 » 2 sty 2009, o 16:50

soku11, a nie \(\displaystyle{ 2^x+1=t}\)?

asia1010
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 18 lis 2008, o 13:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mysłowice
Podziękował: 12 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: asia1010 » 2 sty 2009, o 17:13

dzieki za pomoc. juz wszystko jasne (tam w dwóch miejscach powinno byc (t+1) i wszystko sie zgadza:)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

całka z funkcja wykładnicza

Post autor: soku11 » 2 sty 2009, o 18:25

Poprawilem Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ