Różniczkowalność a ciągłość

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
jom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 sty 2009, o 10:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stolica

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: jom » 2 sty 2009, o 11:29

Czy mógłby ktoś wskazać błąd w moim rozumowaniu? Chodzi o twierdzenie:"Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x , to jest ciągła w tym punkcie". I odnośnie tegoi mam problem z funkcją:
\(\displaystyle{ y=\begin{cases} x, gdy \ x}\)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: » 2 sty 2009, o 11:36

jom pisze:Gdzie robię błąd?
Stwierdzając, że ta funkcja ma pochodną w zerze. Spróbuj sprawdzić z definicji, że nie ma.

Q.

miodzio1988

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: miodzio1988 » 2 sty 2009, o 11:43

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{+} } \frac{f(0+h)- f(0)}{h}=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{-} } \frac{f(0+h)- f(0)}{h}=- }\)
Zatem pochodna w punkcie x=0 nie istnieje, tak jak to napisal Qń:D

jom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 sty 2009, o 10:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stolica

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: jom » 2 sty 2009, o 11:53

\(\displaystyle{ \lim_{h\to\00^{+}} ft(\frac{(0+h+1)-(0+1)}{h}\right)=\frac{h}{h}=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{h\to\00^{-}} ft(\frac{(0+h)-0}{h}\right)=\frac{h}{h}=1}\)

więc pochodna zwykła w tym punkcie =0.

Wiem, że coś jest zle, ale dalej nie wiem co.

miodzio1988

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: miodzio1988 » 2 sty 2009, o 11:58

jom pisze:
\(\displaystyle{ \lim_{h\to\00^{-}} ft(\frac{(0+h)-0}{h}\right)=\frac{h}{h}=1}\)
tu jest błąd. Zamiast - 0 powinno być 1(bo f(0) = 1 )

jom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 sty 2009, o 10:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stolica

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: jom » 2 sty 2009, o 12:16

miodzio1988 pisze:
jom pisze:
\(\displaystyle{ \lim_{h\to\00^{-}} ft(\frac{(0+h)-0}{h}\right)=\frac{h}{h}=1}\)
tu jest błąd. Zamiast - 0 powinno być 1(bo f(0) = 1 )
Pochodną lewostronną obliczam z y=x tak:
\(\displaystyle{ \lim_{h\to\00^{-}} ft(\frac{(x+h)-x}{h}\right)=\left(\frac{(0+h)-0}{h}\right)=\frac{h}{h}=1}\)
a jeśli błędem jest, że z y=x, to nawet z y=x+1:

\(\displaystyle{ \lim_{h\to\00^{-}} ft(\frac{(x+h+1)-(x+1)}{h}\right)=\left(\frac{(0+h+1)-(0+1)}{h}\right)=\frac{h}{h}=1}\)
nie rozumiem dlaczego Tobie wychodzi -

miodzio1988

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: miodzio1988 » 2 sty 2009, o 12:27

kolega spojrzy się jeszcze raz na definicje pochodnej:D chodzi mi o to, że koledze ciągle się myli w tym miejscu dokladnie: f(0)= 1 . Zawsze wartosc tej funkcji w punkcie x=0 jest rowna jeden wiec nie wiem czemu koledze raz wychodzi 0 a raz 1:D

jom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 sty 2009, o 10:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stolica

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: jom » 2 sty 2009, o 12:39

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{+} } \frac{f(0+h)- f(0)}{h}=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{-} } \frac{f(0+h)- f(0)}{h}=- }\)
Zatem pochodna w punkcie x=0 nie istnieje, tak jak to napisal Qń:D
To odniosę się do tego, co napisałeś:

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{-} } \frac{f(0+h)- f(0)}{h}=\frac{(0+h+1)- (0+1)}{h}=\frac{h}{h}= 1}\)

Wytłumacz mi skąd u Ciebie wzięło się \(\displaystyle{ - }\).

miodzio1988

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: miodzio1988 » 2 sty 2009, o 12:48

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{-} } \frac{f(0+h)- f(0)}{h}= \lim_{ h\to 0^{-} } \frac{h-1}{h}}\)=\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{-} } 1- \frac{1}{h}}\)
podstawmy \(\displaystyle{ t= \frac{1}{h}}\) wtedy: \(\displaystyle{ h 0 t }\) podstawiamy i mamy: \(\displaystyle{ \lim_{t \to } 1- t = 1- =- }\)

jom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 sty 2009, o 10:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stolica

Różniczkowalność a ciągłość

Post autor: jom » 2 sty 2009, o 13:07

Czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0^{-} } \frac{(x+h)- (x+1)}{h}= \lim_{ h\to 0^{-} } \frac{h-1}{h}}\)

Robiłem błąd, bo wcześniej w liczniku liczyłem odjemną i odjemnik z y=x+1 (poświąteczne otępienie)

Dzięki miodzio1988!

ODPOWIEDZ