oblicz calki

[gufox]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{cos ^{3}+cos ^{5} } }}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{sinx}{ \sqrt{1+sin2x} }dx}\)

\(\displaystyle{ \int ln ^{2}(x+ \sqrt{1+x ^{2} })dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{2+ \sqrt{x} }}\)

[soku11]

4.
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x}{2+\sqrt{x}}=
ft\{\begin{array}{c}
\sqrt{x}=t\\
x=t^2\\
=2t\mbox{d}t
\end{array}\right\}=
t \frac{2t\mbox{d}t}{2+t}=
2\int \frac{2+t-2}{2+t}\mbox{d}t=
2\int ft( 1+\frac{-2}{2+t}\right)\mbox{d}t=
2t-4\ln|2+t|+C=
2\sqrt{x}-4\ln |2+\sqrt{x}|+C}\)

Pozdrawiam.

[gufox]

dzieki, a jakies sugestie do pozostalych caleczek

[suervan]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{cos ^{3}+cos ^{5}x } } =}\)

wymnazamy licznik i mianownik przez sinx oraz wyciagamy |cosx| przed pierwiastek,

stosujemy podstawienie
\(\displaystyle{ cosx=t
-sinxdx=dt}\)
o pameitamy, że \(\displaystyle{ cos ^{2}=1-sinx}\) oraz przeksztalcajac lekko t, otrzymujemy

\(\displaystyle{ \sqrt{1-sin ^{2}x } =t}\), skad
\(\displaystyle{ -2 t \frac{t( \sqrt{1-t ^{2} } }{t ^{4}(1-t ^{2} }}\) //tutaj tez przemnozylem licznik i mianownik przez t, potem

\(\displaystyle{ 1-t ^{2}=u ^{2}
-2tdt=2udu}\) oraz
\(\displaystyle{ u ^{2}=b
2udu=bd}\)
i w koncu otrzymujemy prosta calke do rozwiazania :

\(\displaystyle{ -4 t \frac{udu}{(1-u ^{2}) ^{2}u ^{2} }}\)

na ulamki proste i wyjdzie.

to z logarytmem naturalnym nie zrobilem, a z sinusem robisz podobny trik co zostal wykorzystany wyzej. pozdrawiam

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ \int ln ^{2}(x+ \sqrt{1+x ^{2} })dx}\)

Robimy (wbrew jakiejkolwiek intuicji ;] ) podstawienie

\(\displaystyle{ x + \sqrt{1+x^2} = t \\
\sqrt{1+x^2} = t - x \ \ /^2 \\
1+x^2 = t^2 + x^2 - 2tx \\
2tx = t^2 - 1 \\
x = \frac{t^2-1}{2t} \ \ dx = \frac{t^2+1}{2t^2} dt}\)

I mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} t lnt \frac{t^2+1}{t^2}\ dt = \frac{1}{2} t \lnt(1 + \frac{1}{t^2})\ dt = \frac{1}{2} ( t lnt\ dt + t \frac{lnt}{t^2} dt ) = \dots}\)


Obydwie całki liczymy również przez części.


Pozdrawiam.

[przemk20]

2
\(\displaystyle{ I = t \frac{\sin x}{|\sin x + \cos x|} \mbox dx \\
t = \tg x}\)

[Dedemonn]

A nie

\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x}{|\sin x + \cos x|}dx}\) ?

[przemk20]

no tak, juz poprawilem