Matematyka.pl

1) Określ znak współczynnika \(\displaystyle{ c}\) trójmianu \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) jeśli wiesz, że \(\displaystyle{ a+b+c<0}\) i trójmian ten nie ma pierwiastków rzeczywistych.
2) Udowodnij, że jeżeli każdy z trójmianów \(\displaystyle{ x^2+2ax+b^2}\) i \(\displaystyle{ x^2+2bx+c^2}\) ma dwa pierwiastki rzeczywiste, to trójmian \(\displaystyle{ x^2+2cx+a^2}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.
3) Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są dodatnie oraz \(\displaystyle{ a+b+c<12}\) to co najmniej jeden z trójmianów kwadratowych \(\displaystyle{ x^2+ax+b}\), \(\displaystyle{ x^2+bx+c}\), \(\displaystyle{ x^2+cx+a}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych

AD 2
\(\displaystyle{ x^2+2ax+b^2=0}\)

Zeby istniały dwa pierwiastki tego trójmianu delta musi być większa od 0 dlatego mamy:
\(\displaystyle{ 4a^2-4b^2>0}\)

identyczie postepujemy z drugim trójmianem i mamy:
\(\displaystyle{ 4b^2-4c^2>0}\)

Zeby trójmian numer 3 nie miał pierwiastków delta musi być mnejsza od zera dlatego

\(\displaystyle{ 4c^2-4a^2b^2}\) natomiast z drugiej \(\displaystyle{ b^2>c^2}\) dlatego mozemy zauważyć że:
\(\displaystyle{ a^2>b^2>c^2}\) CND

1) Określ znak współczynnika \(\displaystyle{ c}\) trójmianu \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) jeśli wiesz, że \(\displaystyle{ a+b+c<0}\) i trójmian ten nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Jesli nie ma wspolczynnikow rzeczywistych, to \(\displaystyle{ \Delta<0}\), \(\displaystyle{ b^2 \ge 0}\), stad
\(\displaystyle{ 0 \le b^2<4ac (**)}\)
Zalozmy, ze \(\displaystyle{ 0 \le a+c(a+c)^2(a+c)^2<4ac}\) wymnazamy i wszystko na lewa strone:
\(\displaystyle{ (a-c)^2<0}\) sprzecznosc.
Zatem \(\displaystyle{ a+c<0}\)
ponadto z \(\displaystyle{ (**) ac>0}\)
stad \(\displaystyle{ c<0}\) (zreszta rowniez \(\displaystyle{ a<0}\))

sorry, że odgrzebuję temat sprzed pięciu lat, ale jest w zbiorze zadań... mógłby ktoś bardziej wyjaśnić rozwiązanie zadania 1?