Podzielność przez 10, ostatnia cyfra liczby

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
xanowron
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Podzielność przez 10, ostatnia cyfra liczby

Post autor: xanowron » 1 sty 2009, o 21:13

Mam zadanie z wykazaniem, że \(\displaystyle{ 43^{43}-17^{17}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10}\).
Wszystko byłoby elegancko tylko nie wiem jak "formalnie" zapisać to, że ostatnimi cyframi tych liczb jest \(\displaystyle{ 7}\), co właściwie jest całym dowodem.

Czy "rozpisanie" dla kilku pierwszych potęg ( \(\displaystyle{ 43^0 , 43^1 , 43^2 ...}\) i to samo z \(\displaystyle{ 17^{17}}\) ) i zauważenie cykliczności wystarczy do w pełni poprawnego rozwiązania?

kubek1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Syberia
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

Podzielność przez 10, ostatnia cyfra liczby

Post autor: kubek1 » 1 sty 2009, o 21:53

xanowron pisze:Czy "rozpisanie" dla kilku pierwszych potęg ( 43^0 , 43^1 , 43^2 ... i to samo z 17^{17} ) i zauważenie cykliczności wystarczy do w pełni poprawnego rozwiązania?
Możesz pokazać(na przykładzie dla 43), że jeżeli:
\(\displaystyle{ 43^k=10t+u}\)
to:
\(\displaystyle{ 43^{k+4}=10v+u}\)
Oczywiście mamy:
\(\displaystyle{ 43^{k+4}=43^k*43^4=(10t+u)*3418801=10*(3418801t+341880u)+u}\)
I tak ostatnia cyfra u obu liczb jest ta sama, więc okresowość reszt została wykazana.

ODPOWIEDZ