Mam zadanie, z którym nie berdzo potrafię sobie poradzić. Dla jakich wartości parametrów a,b funkcja f(x) jest ciągła?
f(x)=\(\displaystyle{ \begin{cases} -2sinx , x -\frac {\pi}{2}\\a sinx+b ,x -\frac {\pi}{2} \frac {\pi}{2}\end{cases}}\)
Zadanie trzeba rozwiązać z zastosowaniem granic. Bardzo proszę o pomoc i w miarę możliwości o wytłumaczenie:)
ciągłość funckji
-
madziaz007
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 14 paź 2007, o 12:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Zduny
-
miodzio1988
ciągłość funckji
aby funkcja byla ciągła w punkcie a prawdziwa musi być rownosc:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to a^{+} } f(x) =\lim_{ x\to a^{-} } f(x) =f (a)}\)
punktami ktore nas interesuja sa punkty \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} , -\frac{\pi}{2}}\) . dla pozostalych punktow funkcja jest ciagla jako funkcja elementarna(sinx, cox to f.elementrane o ktorych wiemy ze sa ciagle bez zbednych dowodow:P)
no to patrzymy na ciaglosc gunkcji w punkcie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{\pi}{2} ^{+} } cosx=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{\pi}{2} ^{-} } asinx+b=a+b}\)
f(\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2})=0}\)
czyli a+b=0
no to patrzymy na ciaglosc gunkcji w punkcie \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -\frac{\pi}{2} ^{+} } asinx+b=-a+b}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -\frac{\pi}{2} ^{-} } -2sinx=2}\)
f(\(\displaystyle{ \frac{-\pi}{2})=2}\)
czyli: b-a=2
zatem mamy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=0\\ b-a=2 \end{cases}}\)
Zatem:
b=1 i a= -1 .
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to a^{+} } f(x) =\lim_{ x\to a^{-} } f(x) =f (a)}\)
punktami ktore nas interesuja sa punkty \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} , -\frac{\pi}{2}}\) . dla pozostalych punktow funkcja jest ciagla jako funkcja elementarna(sinx, cox to f.elementrane o ktorych wiemy ze sa ciagle bez zbednych dowodow:P)
no to patrzymy na ciaglosc gunkcji w punkcie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{\pi}{2} ^{+} } cosx=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{\pi}{2} ^{-} } asinx+b=a+b}\)
f(\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2})=0}\)
czyli a+b=0
no to patrzymy na ciaglosc gunkcji w punkcie \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -\frac{\pi}{2} ^{+} } asinx+b=-a+b}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -\frac{\pi}{2} ^{-} } -2sinx=2}\)
f(\(\displaystyle{ \frac{-\pi}{2})=2}\)
czyli: b-a=2
zatem mamy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=0\\ b-a=2 \end{cases}}\)
Zatem:
b=1 i a= -1 .