Ważne i przydatne ciągi i szeregi.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
MatiUWr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 29 lis 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Ważne i przydatne ciągi i szeregi.

Post autor: MatiUWr » 30 gru 2008, o 22:01

Na wykładach z analizy matematycznej podaje się przykłady pewnych ciągów i sum, które z pewnych względów są szczególne.

Sztandarowymi przykładami takich ciągów są np. ciąg arytmetyczny i geometryczny. W przypadku sum nieskończonych szeregów zadanych tymi ciągami jesteśmy w stanie obliczyć ich granice, w innych przypadkach nie możemy wyliczyć granicy ciągu czy sumy szeregu, a jednak (chociażby do rozwiązywania zadań z list) należy je znać i wiedzieć kiedy dany ciąg jest zbieżny, a kiedy szereg ma granicę.

Poniżej przedstawię kilka ważnych ciągów i sum, które pojawiły się u mnie na wykładzie z analizy, a do Was mam prośbę, aby ją uzupełniać o kolejne ciekawe i przydatne przykłady i ich zastosowania.

Oto przykłady:
  • 1. \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) (jedna z najważniejszych granic w analizie),
    2. \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1}\),
    3. \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}q^n=0}\) dla \(\displaystyle{ |q|}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}q^n}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \infty}\) dla \(\displaystyle{ |q|>1}\),
    4. Jeśli \(\displaystyle{ a>1}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha\geqslant0}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n^\alpha}{a^n}=0}\),
    5. Jeśli \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0}\)

    Dość prosty dowód dwóch powyższych przykładów można przedstawić korzystając z kryteriów d'Alamberta i Cauchy'ego zbieżności szeregów.
Teraz szeregi:
  • 6. Szereg harmoniczny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) nie jest zbieżny, jest zbieżny za to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\)
    7. I ogólniej: szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}}\) jest zbieżny dla \(\displaystyle{ \alpha>1}\) a rozbieżny dla \(\displaystyle{ 0}\) (dowód z kryterium o zagęszczaniu),
    8. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln2}\),
Na razie to tyle z mojej strony. Zachęcam Was do uzupełniania listy.

ODPOWIEDZ