Szeregi potęgowe, nakierowanie przy liczeniu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Wujas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 30 gru 2008, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz

Szeregi potęgowe, nakierowanie przy liczeniu

Post autor: Wujas » 30 gru 2008, o 19:10

Witajcie forumowicze.
Proszę o wskazówki dotyczące kolejnych obliczeń w poniższych zadaniach.
Zad1:
Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego pokazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1+x)^3}=1-3x+ \frac{3 4}{2!}x^2-\frac{3\cdot 4\cdot 5}{3!} x^3+...\;}\) Dla każdego\(\displaystyle{ x (-1,1)}\)
Doszedłem do tego, że szereg po prawej wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{(n+2)(n+1)}{2}x^n}}\)
Pytanie brzmi tak: Czy następujące równianie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}{x^n}= \frac{x}{1-x}}\)
Mam doprowadzić do takiej postaci jak to z treści zadania (od jakich przekształceń zacząć)? Jeżeli, nie to jak zabrać się za to zadanie?

Zad2:
Dla podanej funkcji obliczyć wskazaną pochodną:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1-3x},\:f^{(100)}(0);}\)
W jaki sposób wykorzystać twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy?

Zad3:
Korzystając z twierdzeń o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumę następującego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n+2}{n5^n}}}\)

Z góry dziękuję za pomoc!
Pozdrawiam.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Szeregi potęgowe, nakierowanie przy liczeniu

Post autor: » 31 gru 2008, o 03:19

Ad 1.
Wskazówka - zróżniczkuj dwukrotnie równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^n}\)
(wolno różniczkować wyraz za wyrazem, bo w stosownym przedziale ta suma zbiega jednostajnie)

Ad 2.
Z jednej strony jest:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-3x} = \sum_{n=0}^{\infty} 3^nx^n}\)
z drugiej zaś:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}\)
Ponieważ zaś to te same szeregi, więc w obu przy \(\displaystyle{ x^{100}}\) stoi to samo.

Ad 3.
Dla \(\displaystyle{ 0ft( \frac{x}{5}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{x}{5}}}\)
a po scałkowaniu tej równości (polecam dokładnie przerachować) :
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n5^n} = -\ln (1-\frac{x}{5})}\)
Teraz wystarczy zsumować pierwszą równość i dwa razy drugą i podstawić \(\displaystyle{ x=1}\). Wtedy po lewej pojawi się to czego szukamy, a po prawej liczba, która będzie odpowiedzią.

Q.

Wujas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 30 gru 2008, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz

Szeregi potęgowe, nakierowanie przy liczeniu

Post autor: Wujas » 31 gru 2008, o 16:07

Dziękuję za odpowiedź.
Z pierwszymi dwoma zadaniami sobie poradziłem, dzięki!
Jednak nadal mam problem z zadaniem 3.
Nie rozumiem jak uzyskałeś:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}{ (\frac{x}{5})^n }}\).
Na jakiej podstawie znalazł się tam x?
Po przecałkowaniu lewej strony niestety wyszła mi inna całka (wg wzoru\(\displaystyle{ \int \sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-a)^n\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n ft( x-a \right)^{n+1}} {n+1}}\)).

Mam kolejne pytanie dotyczące twierdzenia o ciągłości sumy szeregu.
Jeżeli miałbym pokazać, że sumy szeregu są ciągłe, np.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x^2 + n^2}}\) Na przedziale \(\displaystyle{ (0,\infty)}\).
To najpierw pokazuję, że ten szereg jest jednostajnie zbieżny (co nie jest trudne), funkcje są ciągłe na tym przedziale (trzeba to jakoś szczególnie wykazać?), więc na podstawie twierdzenia daję odpowiedź, że sumy są ciągłe na danym przedziale.
Dobrze rozumuję?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Szeregi potęgowe, nakierowanie przy liczeniu

Post autor: » 1 sty 2009, o 18:43

Środek nocy nie jest najlepszą porą na przeprowadzanie rachunków, przez pomyłkę napisałem sumowanie od zera zamiast od jedynki. Powinno być:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{x}{5}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{x}{5}} -1}\)
i po scałkowaniu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)5^n} = -5\ln (1-\frac{x}{5}) -x + C}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n5^n} = -\ln (1-\frac{x}{5}) -\frac{x}{5}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n5^n} = -\ln (1-\frac{x}{5})}\)

Iks znalazł się tutaj na takiej podstawie, że go tam sobie napisaliśmy (a co, nie wolno? ;>). Natomiast po scałkowaniu trzeba jeszcze przesunąć wskaźnik sumowania, żeby suma po scałkowaniu zaczynała się od tego samego ena. A \(\displaystyle{ C}\) dobieramy takie, żeby się zgadzało np. dla \(\displaystyle{ x=0}\)

Q.

ODPOWIEDZ