Równanie z logarytmem w wykładniku

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
MakCis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1023
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 15 razy

Równanie z logarytmem w wykładniku

Post autor: MakCis » 30 gru 2008, o 11:48

Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ x^{ \log x} = 1000000x}\)

Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Równanie z logarytmem w wykładniku

Post autor: mmoonniiaa » 30 gru 2008, o 12:06

1. Wyznaczamy dziedzinę:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x>0 \\ x 1 \end{cases} x (0;1)\cup(1;+ )}\)

2. Obustronnie logarytmujemy równanie (logarytmem dziesiętnym):
\(\displaystyle{ logx^{logx}=log(1000000x) \\
logx logx=log1000000 + logx \\
log^2x=6+logx \\
log^2x-logx-6=0}\)


3. Wprowadzamy zmienną pomocniczą: \(\displaystyle{ t=logx}\) i rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ t^2-t-6=0 t=-2 t=3}\)

4. Wracamy do podstawienia i rozwiązujemy równanie logarytmiczne:
\(\displaystyle{ logx=-2 logx=3 x=0,01 D x=1000 D}\)

ODPOWIEDZ