Dla jakiej wartości parametru a podana funkcja bedzie ciągla

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Anioosiaaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 1 kwie 2008, o 09:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: stąd
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 2 razy

Dla jakiej wartości parametru a podana funkcja bedzie ciągla

Post autor: Anioosiaaa » 30 gru 2008, o 11:44

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{\sqrt{sinx}- \sqrt{sin x_{0} }}{x-x _{0} } , dla x x _{0} \\ a, dla x=x _{0} \end{cases}}\)

miodzio1988

Dla jakiej wartości parametru a podana funkcja bedzie ciągla

Post autor: miodzio1988 » 30 gru 2008, o 12:16

musi byc spełniona rowność:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_{0} } f(x)= f ( x_{0} )}\)
gdzie widzimy, że

\(\displaystyle{ f ( x_{0} ) =a}\)

niech: \(\displaystyle{ x_{0} =c}\)

liczymy : \(\displaystyle{ \lim_{ x\to c }}\) f(x)= \(\displaystyle{ \lim_{ x\to c}\frac{ (\sqrt{sinx} - \sqrt{sinc} )* (\sqrt{sinx} + \sqrt{sinc} ) }{ (\sqrt{sinx} + \sqrt{sinc} ) * (x-c)}}\)= \(\displaystyle{ \lim_{ x\to c} \frac{sinx-sinc}{(\sqrt{sinx} + \sqrt{sinc} ) * (x-c)}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{ x\to c} \frac{ 2* sin \frac{x-c}{2} * cos \frac{x+c}{2} }{ (\sqrt{sinx} + \sqrt{sinc} ) * (x-c)}}\).
Korzystamy z tego , że: \(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{sinx}{x} =1}\)

i mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to c} \frac{ cos \frac{x+c}{2}}{(\sqrt{sinx} + \sqrt{sinc} ) }}\) = \(\displaystyle{ \frac{cos c}{ 2* \sqrt{sinc} }}\)
Zatem nasz parametr a jest równy: \(\displaystyle{ \frac{cos x _{0} }{ 2* \sqrt{sin x_{0} } }}\)

ODPOWIEDZ