[Stereometria] Kula wpisana w czworościan

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
emator2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 4 lis 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 51° 08'N 22° 50'E
Podziękował: 10 razy

[Stereometria] Kula wpisana w czworościan

Post autor: emator2 » 29 gru 2008, o 23:33

Wewnątrz czworościanu foremnego ABCD obrano dowolnie punkt P. Prosta łącząca ten punkt ze środkiem O kuli wpisanej w ten czworościan przebija płaszczyzny jego ścian BCD, CDA, DAB i ABC odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ A^'}\), \(\displaystyle{ B^'}\), \(\displaystyle{ C^'}\), \(\displaystyle{ D^'}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{A^{'}P}{A^{'} O}}\) \(\displaystyle{ + \frac{B^{'} P}{B^{'} O}}\) \(\displaystyle{ + \frac{C^{'} P}{C^{'} O}}\) \(\displaystyle{ + \frac{D^{'} P}{D^{'} O}}\) \(\displaystyle{ =4}\).

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Stereometria] Kula wpisana w czworościan

Post autor: Sylwek » 29 gru 2008, o 23:39

Z tego co pamiętam, to idzie z samego twierdzenia Talesa (lub coś w stylu, że stosunek pewnych odcinków jest równy stosunkowi pewnych objętości - kiedyś na małej OM było - nie jest trudne, skoro ja stereometrię zrobiłem ). Jak dalej nie będziesz wiedział, to spróbuję sobie przypomnieć jak robiłem.

Awatar użytkownika
emator2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 4 lis 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 51° 08'N 22° 50'E
Podziękował: 10 razy

[Stereometria] Kula wpisana w czworościan

Post autor: emator2 » 2 sty 2009, o 23:12

Jeśli możesz, napisz jak wypadałoby to zrobić, bo mnie ta stereo wykańcza...

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Stereometria] Kula wpisana w czworościan

Post autor: Sylwek » 3 sty 2009, o 01:23

1) Zauważ, że mamy: \(\displaystyle{ \frac{A'P}{A'O}=\frac{V_{BCDP}}{V_{BCDO}}}\) i 3 analogiczne równości.

2) Zauważ, że: \(\displaystyle{ V_{BCDO}=V_{ABCO}=V_{ABDO}=V_{ACDO}=\frac{1}{4}V_{ABCD}=\frac{1}{4}V}\)

3) Zauważ, że: \(\displaystyle{ V_{BCDP}+V_{ABCP}+V_{ABDP}+V_{ACDP}=V}\)

4) Podsumowując: \(\displaystyle{ L=\frac{V_{BCDP}+V_{ABCP}+V_{ABDP}+V_{ACDP}}{\frac{1}{4}V}=\frac{V}{\frac{1}{4}V}=4=P}\)

ODPOWIEDZ