Rozwiąż równanie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Macius700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 11 maja 2008, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 27 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: Macius700 » 29 gru 2008, o 21:53

Rozwiąż równanie za pomocą macierzy odwrotnej :

\(\displaystyle{ X ft[\begin{array}{ccc}-1&1&2\\1&1&0\\0&1&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}8&4&0\\-4&8&4\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\1&-1&-1\\2&1&-1\end{array}\right]\cdot X=\left[\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right]}\)

Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: mmoonniiaa » 29 gru 2008, o 23:01

Przekształcamy równanie:
\(\displaystyle{ X A=B \ / A^{-1} \ z \ prawej \\
X=B A^{-1}}\)


Wyznaczymy macierz odwrotną: \(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{A^D}{det A}}\)

Najpierw wyliczymy wyznacznik macierzy A:
\(\displaystyle{ det A=1+2+1=4}\)

Następnie wyznaczymy macierz dopełnień algebraicznych:
\(\displaystyle{ A^D=\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} 1&0\\1&-1 \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 1&0\\0&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix} 1&1\\0&1\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix} 1&2\\1&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix} -1&2\\0&-1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix} -1&1\\0&1\end{vmatrix}\\\begin{vmatrix} 1&2\\1&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix} -1&2\\1&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix} -1&1\\1&1\end{vmatrix}\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} -1&-1&1\\-3&1&-1\\-2&-2&-2\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} -1&-3&-2\\-1&1&-2\\1&-1&-2\end{bmatrix}}\)

Teraz wystarczy tylko podstawić do wzoru na macierz odwrotną:
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -1&-3&-2\\-1&1&-2\\1&-1&-2\end{bmatrix}}\)

Wracamy do naszego równania, gdzie mamy wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ X=B A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 8&4&0\\-4&8&4\end{bmatrix} \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -1&-3&-2\\-1&1&-2\\1&-1&-2\end{bmatrix}= \frac{1}{4}\begin{bmatrix} -12&-20&-24\\0&16&-16\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -3&-5&-6\\0&4&-4\end{bmatrix}}\)

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 23:04 ]
Drugi przykład spróbuj zrobić samodzielnie.

ODPOWIEDZ