[Równania] Układ z nieokreśloną liczbą równań

[patry93]

Witam.

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x_1 , x_2 , \ldots , x_n \ (n \geqslant 2)}\) układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + x_2 + \ldots + x_{n-2} + x_{n-1} = \frac{1}{x_{n}} \\ x_2 + x_3 + \ldots + x_{n-1} + x_{n} = \frac{1}{x_{1}} \\ x_3 + x_4 + \ldots + x_{n} + x_{1} = \frac{1}{x_{2}} \\ \ldots \\ x_n + x_1 + \ldots + x_{n-3} + x_{n-2} = \frac{1}{x_{n-1}} \end{cases}}\)

Próbowałem z mnożeniem stronami, ale "straszne" rzeczy wychodziły, więc zsumujmy stronami:
\(\displaystyle{ (n-1)(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \ldots + \frac{1}{x_{n}} \\ (n-1)x_1 - \frac{1}{x_{1}} + (n-1)x_2 - \frac{1}{x_{2}} + \ldots + (n-1)x_n - \frac{1}{x_{n}} = 0}\)
"Jak zazwyczaj" trzeba to chyba zapisać jakoś w postaci iloczynu... wymyśliłem coś takiego (zapiszę tylko wyrazy dla pierwszego i ostatniego, co by zbyt dużo miejsca wszystko nie zajmowało, a wiadomo o co chodzi )
\(\displaystyle{ (n-1)x_1 (1 - \frac{1}{ (n-1)x_{1} ^{2}} ) + \ldots + (n-1)x_n (1 - \frac{1}{ (n-1)x_{n} ^{2}} ) = 0}\)
Z treści zadania mam: \(\displaystyle{ n \geqslant 2 \Rightarrow n-1 \geqslant 1}\), więc albo same 'iksy' z indeksami muszą być równe 0, albo te moje "dziwne" nawiasy.
Tutaj nie wiem czy tak można, ale pomijam przypadki, gdzie jeden iloczyn będzie ujemny, inny dodatni i razem tez może to dać zero... czyli już czuję, że mam niestety źle :/
No cóż, ale napiszę jak to dalej robiłem:
Załóżmy, że te nawiasy są równe 0, czyli mamy (biorę pod uwagę dowolny z nich, dlatego bez indeksu)
\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{ (n-1)x^{2}} = 0 \\ \frac{1}{ (n-1)x^{2}} = 1 \\ x^2 = \frac{1}{n-1} \\ x = \sqrt{ \frac{1}{n-1}}\)
Na 101% źle, ale cóż, człowiek uczy się na błędach...
Czyli wyszły mi takie rozwiązania:
\(\displaystyle{ x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 0 \ \vee \ x_1 = x_2 = \ldots = x_n = \sqrt{ \frac{1}{n-1}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[L121]

\(\displaystyle{ x_i}\) nie może być zerem...
a próbowałeś odejmować po dwa od siebie:
np.
\(\displaystyle{ x_1+...+x_n= \frac{1}{x_i}}\)
\(\displaystyle{ x_1+...+x_n= \frac{1}{x_j}}\)
wtedy \(\displaystyle{ x_j-x_i=\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_j}}\)
no i stąd albo wszystkie \(\displaystyle{ x_i}\) są równe, albo dla dowolnych \(\displaystyle{ x_i, x_j}\) ich iloczyn jest równy jeden, wtedy łatwo wykazać sprzeczność(weź dwa dowolne równania i pomnóż stronami, z jednej strony wyjdzie jeden, a z drugiej będzie znacznie więcej niż jeden) i zostaje, że muszą wszystkie być równe, czyli jeden z Twoich wyników jest ok

[Dumel]

no i stąd albo wszystkie \(\displaystyle{ x_i}\) są równe, albo dla dowolnych \(\displaystyle{ x_i, x_j}\) ich iloczyn jest równy jeden

nie, dla dowolnych i,j \(\displaystyle{ x_i, x_j}\) są równe lub ich iloczyn jest równy jeden, a to poważna różnica

[patry93]

\(\displaystyle{ x_i}\) nie może być zerem...

Aaaach, ale ze mnie matoł No tak, czyli tak naprawdę znalazłem jedno "rozwiązanie"

no i stąd albo wszystkie \(\displaystyle{ x_i}\) są równe, albo dla dowolnych \(\displaystyle{ x_i, x_j}\) ich iloczyn jest równy jeden

Nie rozumiem skąd ten wniosek... ?

czyli jeden z Twoich wyników jest ok

Tzn. ten wynik z pierwiastkiem jest dobry?

nie, dla dowolnych i,j \(\displaystyle{ x_i, x_j}\) są równe lub ich iloczyn jest równy jeden, a to poważna różnica

Hm.... czyli jednak L121 się pomylił, lecz nadal nie rozumiem wniosku...

[timon92]

no i stąd albo wszystkie \(\displaystyle{ x_i}\) są równe, albo dla dowolnych \(\displaystyle{ x_i, x_j}\) ich iloczyn jest równy jeden

Nie rozumiem skąd ten wniosek... ?

\(\displaystyle{ x_j-x_i=\frac{1}{x_i}-\frac{1}{x_j} x_j-x_i=\frac{x_j-x_i}{x_i x_j} x_j-x_i -(\frac{x_j-x_i}{x_i x_j})=0 (x_j-x_i)(1-\frac{1}{x_i x_j})=0 x_j-x_i=0 1-\frac{1}{x_i x_j}=0 x_j=x_i 1=\frac{1}{x_i x_j} x_i=x_j x_ix_j=1}\)

[patry93]

Ok, rozumiem.
Więc wiem, że każdy z 'iksów' jest sobie równy.
Jednak podstawiając dowolną liczbę otrzymuję sprzeczności.
Natomiast (o dziwo!) podstawiając ten mój wynik z pierwiastkiem otrzymuję tożsamości, więc chyba jednak jest dobry...
Lecz teraz rodzi się pytanie - czy tych wyników nie będzie może więcej? Bo jednak ja założyłem sobie, że te wszystkie nawiasy są równe 0, a w ogóle nie rozpatrywałem przypadku, gdy jeden jest np. ujemny, inny dodatni i w sumie też da zero....

[timon92]

Skoro wszystkie iksy są równe, to również nawiasy są równe. Więc wszystkie nawiasy muszą być równe 0

edit: Zgubiłeś jedno rozwiązanie. jeśli \(\displaystyle{ x^2=y}\) to \(\displaystyle{ x= \sqrt{y} x=- \sqrt{y}}\)

[L121]

Więc wiem, że każdy z 'iksów' jest sobie równy.
Jednak podstawiając dowolną liczbę otrzymuję sprzeczności.
Natomiast (o dziwo!) podstawiając ten mój wynik z pierwiastkiem otrzymuję tożsamości, więc chyba jednak jest dobry...

skoro każdy z iksów jest równy to podstawiając do równania otrzymasz:
\(\displaystyle{ x+x+....+x= \frac{1}{x}}\)
więc
\(\displaystyle{ (n-1)x= \frac{1}{x}}\)
i stąd liczysz x rzeczywiście jest też ujemne rozwiązanie.

[Sir George]

Cóż, pozwolę sobie wtrącić swoje trzy grosze...

Ok, rozumiem.
Więc wiem, że każdy z 'iksów' jest sobie równy.

Przepraszam, ale chyba jednak do końca nie rozumiesz. To co

nie, dla dowolnych i,j \(\displaystyle{ x_i, x_j}\) są równe lub ich iloczyn jest równy jeden, a to poważna różnica

jest prawdą. Dokładnie rzecz ujmując \(\displaystyle{ (x_1=x_2\vee x_1x_2=1)\wedge(x_2=x_3\vee x_2x_3=1)\wedge\ldots\not\Leftrightarrow\big(x_1=x_2=x_3=\ldots\vee (x_1x_2=1\wedge x_2x_3=1\wedge\ldots)\big)}\)
Niewykluczona jest zatem sytuacja, kiedy np. \(\displaystyle{ x_1=x_2=\frac1{x_3}=\frac1{x_4}=x_5=\ldots}\).
Jednak rozwiązania mogą przyjmować dwie (niezerowe!) wartości, powiedzmy \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \frac1\alpha}\).

Niech więc dokładnie \(\displaystyle{ k}\) spośród \(\displaystyle{ x_1,\ldots,x_n}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \alpha}\). Wówczas proste przekształcenie dowolnego z równań daje:
\(\displaystyle{ (k-1)\alpha+(n-k-1)\frac1\alpha=0}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \frac1\alpha}\) są tego samego znaku, zatem znaków przeciwnych powinny być \(\displaystyle{ (k-1)}\) i \(\displaystyle{ (n-k-1)}\), o ile \(\displaystyle{ n>2}\). Z dodatkowym warunkiem \(\displaystyle{ 0\le k\le n}\) daje to \(\displaystyle{ k=0 \wedge k=n}\), czyli że wszystkie \(\displaystyle{ x_1=x_2=\ldots=x_n}\).



Zatem dla \(\displaystyle{ n>2}\) jedyne rozwiązania to \(\displaystyle{ x_1=x_2=\ldots=x_n=\frac1{\sqrt{n-1}}}\) lub \(\displaystyle{ x_1=x_2=\ldots=x_n=-\frac1{\sqrt{n-1}}}\).


Natomiast dla \(\displaystyle{ n=2}\), czego jak do tej pory nikt nie zauważył (chyba, że coś ja przeoczyłem, za co z góry przepraszam), rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x_1=\alpha, x_2=\frac1\alpha}\) dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ \alpha\neq0}\).




Pozdrawiam... i życzę więcej uwagi w rozwiązywaniu zadań...