Oblicz pochodne funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
mazi_piotrek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 29 gru 2008, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek Zdrój
Podziękował: 3 razy

Oblicz pochodne funkcji

Post autor: mazi_piotrek » 29 gru 2008, o 18:26

Witam!
To mój pierwszy post, nie umiem jeszcze obsługiwać Tex'a, dlatego nie krzyczcie :)

Potrzebuję obliczyć pochodne:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\ln (1+x^{2})}}\)

\(\displaystyle{ \arccos(\sin x)}\)

\(\displaystyle{ \frac{2^{\sin x}}{3^{\cos x}}}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Oblicz pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 29 gru 2008, o 18:50

Gratulacje, zapisy są poprawnie wykonane.

\(\displaystyle{ 1.\ Podstawienie: \\ t=ln(1+x^{2}) \\ u=1+x^{2} \\ ( \sqrt[3]{ln(1+x^{2}})'=(t^{1/3})' (ln(1+x^{2})' = \frac{1}{3t^{2/3}} (lnu)' (1+x^{2})'= \frac{1}{3 \sqrt[3]{(ln(1+x^{2}))^{2}} }} \frac{1}{u} 2x= \frac{1}{3 \sqrt[3]{(ln(1+x^{2}))^{2}} }} \frac{1}{1+x^{2}} 2x \\ 2.\ Podstawienie: \\ t=sinx \\ (arc\ cos(sinx))'= (arc\ cos(t))' (sinx)'= \frac{-1}{ \sqrt{1-t^{2}} } cosx = \frac{-1}{ \sqrt{1-(sinx)^{2} }} cosx \\ Korzystamy\ z: \\ f^{g}=e^{glnf} \ oraz\ (e^{f})'=e^{f} (f)' \\ ( \frac{2^{sinx}}{3^{cosx}})'=(2^{sinx} 3^{-cosx})'= (e^{sinx ln2} e^{-cosx ln3})'= (e^{ln2 sinx-ln3 cosx})'= e^{ln2 sinx-ln3 cosx} (ln2 sinx-ln3 cosx)'= e^{ln2 sinx-ln3 cosx} ( ln2 \ cosx + ln3 \ sinx)}\)

Pozdrawiam.

mazi_piotrek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 29 gru 2008, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek Zdrój
Podziękował: 3 razy

Oblicz pochodne funkcji

Post autor: mazi_piotrek » 29 gru 2008, o 19:14

Wielkie dzięki!
Mam jeszcze pytanie:
1. Do obliczenia dwóch pierwszych pochodnych użyłeś twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej? - Czy mógłbyś mi je tutaj podać w jawnej postaci?

2. W trzeciej pochodnej na samym początku przejście z dzielenia na mnożenie to poprostu zasada "podzielić tj. pomnożyć przez odwrotność" ?

3. A jak taką pochodną obliczyć, bo nie wiem czy mam dobrze:

\(\displaystyle{ e^{x\\arctg x}}\)

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Oblicz pochodne funkcji

Post autor: Dedemonn » 29 gru 2008, o 20:24

\(\displaystyle{ (e^{xarctg x})' = (x arctgx)' e^{xarctgx} = (arctgx + \frac{x}{1+x^2}) e^{xarctgx}}\)

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 20:29 ]
mazi_piotrek pisze:1. Do obliczenia dwóch pierwszych pochodnych użyłeś twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej?
Poćwicz na pochodnych złożonych w ten sposób:

\(\displaystyle{ y = \sqrt[3]{ln(1+x^2)}}\)

- podstawiamy kolejno od najbardziej wewnętrznych składników:

\(\displaystyle{ a = 1+x^2 \\
b = ln(a) \\
c = \sqrt[3]{b}}\)


Każde podstawienie różniczkujemy i wynikiem jest iloczyn wszystkich tych czynników.


Pzdr.

ODPOWIEDZ