Ciąg jest zapisany wzorem:
\(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ....+ \frac{1}{n+n}}\)
czy ciąg jest ograniczony , jeśli tak to ile wynosi jego granica?
kolejna granica
-
miodzio1988
kolejna granica
wprowadzmy sobie pomocniczy ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) taki ze:
\(\displaystyle{ b _{n} =1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} -lnn}\)
ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest ograniczony z dołu i malejący (dowód pózniej:P) zatem jest zbieżny.(*)
\(\displaystyle{ b_{n}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow g}\)
\(\displaystyle{ b_{2n}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow g}\)
rozpatrzmy taką roznicę:
\(\displaystyle{ b_{2n}}\) - \(\displaystyle{ b_{n}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n} -ln2n+lnn= a_{n} - ( ln2n-lnn)= a_{n} - ln2}\)
zatem przechodzą do granicy mamy:
g-g= \(\displaystyle{ a_{n}-ln2.}\)
Zatem granica szukanego ciągu wynosi ln2.
Zostaje nam udowodnic jedynie (*)
\(\displaystyle{ b _{n} =1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} -lnn}\)
ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest ograniczony z dołu i malejący (dowód pózniej:P) zatem jest zbieżny.(*)
\(\displaystyle{ b_{n}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow g}\)
\(\displaystyle{ b_{2n}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow g}\)
rozpatrzmy taką roznicę:
\(\displaystyle{ b_{2n}}\) - \(\displaystyle{ b_{n}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n} -ln2n+lnn= a_{n} - ( ln2n-lnn)= a_{n} - ln2}\)
zatem przechodzą do granicy mamy:
g-g= \(\displaystyle{ a_{n}-ln2.}\)
Zatem granica szukanego ciągu wynosi ln2.
Zostaje nam udowodnic jedynie (*)