Wyznacz a oraz b

[Tux]

Wyznacz a oraz b, dla których ciąg (a,b,1) jest ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg (1,a,b) jest ciągiem geometrycznym.

[Szemek]

\(\displaystyle{ \begin{cases} b = \frac{a+1}{2} \\ a^2 = 1 b \end{cases}}\)

[sea_of_tears]

(a,b,1) to jest ciąg arytmetyczny, zatem :
\(\displaystyle{ b-a=1-b\newline
b-1+b=a\newline
a=2b-1}\)
(1,a,b) to ciąg geometryczny który uwzględniając policzone powyżej a można zapisać jako :
\(\displaystyle{ (1,2b-1,b)}\)
a ponieważ jest to ciąg geometryczny możemy zapisać, że :
\(\displaystyle{ \frac{2b-1}{1}=\frac{b}{2b-1}\newline
(2b-1)^2=b\newline
4b^2-4b+1=b\newline
4b^2-5b+1=0\newline
\Delta=9\newline
\sqrt{\Delta}=3\newline
b_1=\frac{1}{4} a_1=-\frac{1}{2}\newline
b_2=1 a_2=1}\)