Matematyka.pl

Witam

Mam takie zadanko, które zrobiłem ale chciałbym się dowiedzieć czy da się to zrobić bez modulo.

Zadanie brzmi tak:
Wykaż, że różnica kwadratów kolejnych liczb nieparzystych całkowitych jest podzielna przez 8

Moje rozwiązanie wygląda tak

\(\displaystyle{ \left(x^{2} - y^{2}\right) mod 8 = 0 \\

[\left(x \hbox{mod} 8\right)^{2} - ft(y \hbox{mod} 8\right)^{2}] \hbox{mod} 8 = 0 \\

x mod 8 y mod 8 {1,3,5,7} \\

więc tutaj musze rozpatrzyć przypadki
ft(1^{2} - 3^{2}\right)mod 8 =0\\
ft(3^{2} - 5^{2}\right) mod 8 =0\\
ft(7^{2} - 7^{2}\right) mod 8 =0\\
ft(7^{2} - 1^{2}\right) mod 8 =0\\
ft(3^{2} - 1^{2}\right) mod 8 =0\\
ft(5^{2} - 3^{2}\right) mod 8 =0\\
ft(7^{2} - 5^{2}\right) mod 8 =0\\
ft(1^{2} - 7^{2}\right) mod 8 =0\\}\)
i dostaję, że każde wyrażenie jest prawdziwe. Czy ten dowód można uznać i czy jest jakiś inny sposób bez modulo ?

Pozdrawiam

Może w ten sposób:
\(\displaystyle{ (2n+1)^2-(2n+3)^2=4n^2+4n+1-(4n^2+12n+9)=-8n-8=-8(n+1)}\)

\(\displaystyle{ (2k+3)^{2}-(2k+1) ^{2} =8k+8=8(k+1)}\), co jest oczywiście podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\)

Dzięki Już widzę na czym rzecz polega. W innych zadanich, które mam w zbiorze widzę też można tak bez modulo i nawet krócej wychodzi.

w rozwiązaniu maise są błędy w zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, stąd nie zawsze prawdziwy wynik; \(\displaystyle{ \frac{1}{2} n +1}\) nie musi być liczbą całkowitą

[ Dodano: 28 Grudnia 2008, 23:08 ]
o, już maise poprawiła

A nikt mi nie powiedział czy moje rozwiązanie jest dobre?