calka

[gufox]

\(\displaystyle{ \int \sqrt{ \frac{x-1}{x-2} } \frac{dx}{(x-1) ^{2} }}\)

wiem ze t = pierwiastek, ale jak sie wyznacza x ?

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ \int \sqrt{ \frac{x-1}{x-2} } \frac{dx}{(x-1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x-2} = t^2 \ \ \frac{t^2-1}{t^2-2} = x}\)

[gufox]

to to ja wiem chodzi mi jak sie przeksztalca, chyba nie jest tak ze w miejsce x sobie t wstawiamy tak poprostu

[Dedemonn]

Jednak tak nie jest, jak myślałem... ;o
Zmieniam zdanie:

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x-2} = t^2 \ \ / (x-2) \\
x-1 = t^2x - 2t^2 \\
t^2x-x = 2t^2-1 \\
x(t^2-1) = 2t^2-1 \\
x = \frac{2t^2-1}{t^2-1}}\)

to to ja wiem

Widzisz - jednak źle wiesz.


Pzdr.

[przemk20]

heh, no tylko jescze musisz rozniczke policzyc
\(\displaystyle{ x = 1 + \frac{1}{t^2-2} \\
dx = - \frac{2t dt}{(t^2-2)^2}}\)
albo jeszcze szybciej
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{x-1}{x-2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x-1}}} \\
t = 1-\frac{1}{x-1} \\
dt = \frac{dx}{(x-1)^2} \\
I = t \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2 \sqrt{t}+C = 2 \sqrt{\frac{x-2}{x-1}} + C}\)