Równania

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
lukd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 25 gru 2008, o 18:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 2 razy

Równania

Post autor: lukd » 28 gru 2008, o 14:04

a)\(\displaystyle{ (cosx-sinx) ^{2} + tgx=2sin ^{2} x}\)
b)\(\displaystyle{ (1-tgx)(1+sin2x)=1+tgx}\)

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Równania

Post autor: lukasz1804 » 28 gru 2008, o 15:13

a) Mamy \(\displaystyle{ \cos x\neq 0}\), zatem
\(\displaystyle{ 0=(\cos x-\sin x)^2+\tg x-2\sin^2x=\cos^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x+\tg x-2\sin^2x=(\cos^2x+\sin^2x)-2\sin^2x-2\sin x\cos x+\tg x=1-2\sin^2x-2\sin x\cos x+\tg x}\).
Stąd \(\displaystyle{ 0=\cos x-2\sin^2x\cos x-2\sin x\cos^2x+\sin x}\), czyli \(\displaystyle{ 0=(\sin x+\cos x)-2\sin x\cos x(\sin x+\cos x)}\), więc
\(\displaystyle{ 0=(\sin x+\cos x)(1-2\sin x\cos x)=(\sin x+\cos x)(1-\sin 2x)=\cos x(\frac{\sin x}{\cos x}+1)(1-\sin 2x)=\cos x(\tg x+1)(1-\sin 2x)}\).
Wobec tego i dziedziny równania mamy \(\displaystyle{ (\tg x+1)(1-\sin 2x)=0}\), czyli \(\displaystyle{ \tg x=-1}\) lub \(\displaystyle{ \sin 2x=1}\). Stąd \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\) lub \(\displaystyle{ 2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\), czyli \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).

ODPOWIEDZ