Zadanie na śniadanie - szereg funkcyjny wielu zmiennych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 415
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 10 razy

Zadanie na śniadanie - szereg funkcyjny wielu zmiennych

Post autor: matemix » 28 gru 2008, o 09:41

Witam. Pytanie brzmi czy jakakolwiek funkcja z poniższego szeregu ma jakiekolwiek miejsca zerowe (poza miejscem zerowym funkcji *\(\displaystyle{ f_{1}}\))?

\(\displaystyle{ f_{1}=\frac {3^{a} \cdot b-1}{2^{a} \cdot b-1}-2^{x}}\)

\(\displaystyle{ f_{2}=\frac {\frac {3^{c} \cdot d-1}{3^{a} \cdot b-1}}{\frac {2^{a} \cdot b-1}{2^{c} \cdot d-1}}-2^{x}}\)

\(\displaystyle{ f_{3}=\frac {\frac {\frac {3^{e} \cdot f-1}{3^{c} \cdot d-1}}{3^{a} \cdot b-1}}{\frac {\frac {2^{a} \cdot b-1}{2^{c} \cdot d-1}}{2^{e}\cdot f-1}}-2^{x}}\)

\(\displaystyle{ f_{4}= itd.}\)

Wszystkie zmienne to liczby całkowite dodatnie oraz chodzi mi tylko o takie przypadki, że liczniki (oraz mianowniki) są od siebie różne.





* Pierwsza funkcja ma jedno znane miejsce zerowe dla parametrów a=1, b=1, x=2.

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 18:24 ]
Skoro nikt nie odpowiada to odpowiem sobie sam. Na pewno funkcja:

\(\displaystyle{ f_{1}=\frac {3^{a} \cdot b-1}{2^{a} \cdot b-1}-2^{x}}\)

nie ma więcej miejsc zerowych niż dla a=1. b=1 i x=1, ponieważ wynika to z jej wykresu. Niestety pozostałych funkcji nie potrafię narysować.
Ostatnio zmieniony 15 sty 2009, o 23:16 przez matemix, łącznie zmieniany 1 raz.

matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 415
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 10 razy

Zadanie na śniadanie - szereg funkcyjny wielu zmiennych

Post autor: matemix » 15 sty 2009, o 23:15

Dodam jeszcze, chyba tylko jako ciekawostkę, iż dla podobnych funkcji:

\(\displaystyle{ f_{1}=\frac {3^{a} \cdot b+1}{2^{a} \cdot b+1}-2^{x}}\)

\(\displaystyle{ f_{2}=\frac {\frac {3^{c} \cdot d+1}{3^{a} \cdot b+1}}{\frac {2^{a} \cdot b+1}{2^{c} \cdot d+1}}-2^{x}}\)

\(\displaystyle{ f_{3}=\frac {\frac {\frac {3^{e} \cdot f+1}{3^{c} \cdot d+1}}{3^{a} \cdot b+1}}{\frac {\frac {2^{a} \cdot b+1}{2^{c} \cdot d+1}}{2^{e}\cdot f+1}}-2^{x}}\)

\(\displaystyle{ f_{4}= itd.}\)

Są znane dwa miejsca zerowe. Dla funkcji pierwszej dla parametrów a=2, b=1 oraz dla funkcji drugiej dla parametrów a=4, b=1, c=3, d=5.


Inną ciekawostką może być fakt, iż pewne jest, że dla liczb postaci \(\displaystyle{ 3^{e} \cdot f+1}\) lub \(\displaystyle{ 3^{e} \cdot f-1}\) lub \(\displaystyle{ 2^{e} \cdot f+1}\) lub \(\displaystyle{ 2^{e} \cdot f-1}\) mniejszych od \(\displaystyle{ 2^{58}}\) miejsc zerowych dla żadnego z dwóch powyższych szeregów nie ma (oprócz tych zanych).

ODPOWIEDZ